4. 机器人运动学基础：机器人坐标系定义、正逆运动学与DH参数
机器人运动学是手眼标定的数学基石。在3D线扫相机与机器人联合标定中，所有测量数据最终都要统一到机器人基坐标系下。本章将系统讲解机器人坐标系的定义、正/逆运动学求解方法以及DH参数建模，为后续手眼矩阵求解提供理论支撑。
4.1 机器人坐标系定义
工业机器人通常定义四个核心坐标系，它们构成了运动学计算的参考框架：
| 坐标系名称 | 符号 | 位置与方向 | 在手眼标定中的作用 |
|---|---|---|---|
| 基坐标系 | {B} | 固定在机器人安装底座，Z轴通常垂直向上 | 全局参考系，所有运动学计算的最终基准 |
| 工具坐标系 | {T} | 固定在机器人末端法兰或实际工具上 | 定义相机或焊枪等末端执行器的位姿 |
| 用户坐标系 | {U} | 用户自定义的工作台或工件坐标系 | 简化编程，使运动指令与工件对齐 |
| 世界坐标系 | {W} | 全局测量系统的参考系（可选） | 多机器人或外部传感器统一基准 |
标定要点： 在“眼在手外”标定中，相机通常固定在用户坐标系或世界坐标系中；在“眼在手上”标定中，相机固定在工具坐标系上。坐标系定义错误将直接导致标定失败。
4.2 正运动学与逆运动学
运动学解决的是关节空间与笛卡尔空间之间的映射问题，是机器人控制与标定的核心算法。
4.2.1 正运动学（Forward Kinematics）
已知各关节角度（θ₁, θ₂, …, θₙ），求解末端工具坐标系相对于基坐标系的位姿（位置+姿态）。数学表达为：
T_BT = f(θ₁, θ₂, …, θₙ)
其中：
- T_BT：基坐标系到工具坐标系的4×4齐次变换矩阵
- θᵢ：第i个关节的角度值
- f：由连杆参数和关节变量决定的非线性函数正运动学具有唯一解，计算过程直接、稳定，常用于机器人仿真和实时状态监测。
4.2.2 逆运动学（Inverse Kinematics）
已知末端工具的目标位姿，求解各关节角度值。数学表达为：
(θ₁, θ₂, …, θₙ) = f⁻¹(T_BT_desired)
逆运动学难点： 逆运动学通常存在多解、无解或奇异位形问题。对于6轴机器人，同一末端位姿最多对应8组关节角度解。在手眼标定中，应避免使用奇异点附近的位姿进行数据采集。
| 对比项 | 正运动学 | 逆运动学 |
|---|---|---|
| 输入 | 关节角度 | 末端位姿（位置+姿态） |
| 输出 | 末端位姿（唯一） | 关节角度（可能多解） |
| 计算复杂度 | 低，解析表达式直接代入 | 高，需解非线性方程组 |
| 在手眼标定中的应用 | 验证标定结果、仿真 | 规划标定采集位姿 |
4.3 DH参数简介
Denavit-Hartenberg（DH）参数法是机器人运动学建模的标准方法，通过四个参数描述相邻连杆之间的坐标变换关系。
4.3.1 四个DH参数定义
| 参数 | 符号 | 物理含义 | 关节变量 |
|---|---|---|---|
| 连杆长度 | aᵢ | 沿Xᵢ轴方向，从Zᵢ到Zᵢ₊₁的距离 | 固定值 |
| 连杆扭角 | αᵢ | 绕Xᵢ轴，从Zᵢ到Zᵢ₊₁的旋转角 | 固定值 |
| 连杆偏距 | dᵢ | 沿Zᵢ轴方向，从Xᵢ₋₁到Xᵢ的距离 | 移动关节变量 |
| 关节转角 | θᵢ | 绕Zᵢ轴，从Xᵢ₋₁到Xᵢ的旋转角 | 旋转关节变量 |
4.3.2 相邻连杆变换矩阵
基于DH参数，相邻连杆i-1到i的齐次变换矩阵为：
T(i-1→i) = Rot(Z, θᵢ) · Trans(Z, dᵢ) · Trans(X, aᵢ) · Rot(X, αᵢ)
展开为4×4矩阵形式：
| cosθᵢ -sinθᵢ·cosαᵢ sinθᵢ·sinαᵢ aᵢ·cosθᵢ |
| sinθᵢ cosθᵢ·cosαᵢ -cosθᵢ·sinαᵢ aᵢ·sinθᵢ |
T = | 0 sinαᵢ cosαᵢ dᵢ |
| 0 0 0 1 |4.3.3 完整运动学链
对于n轴机器人，从基座到工具坐标系的完整变换为：
T_BT = T(0→1) · T(1→2) · … · T(n-1→n) · T_tool
其中：
- T(0→1)：基座到第1关节的变换
- T(n-1→n)：第n-1关节到第n关节的变换
- T_tool：第n关节到工具坐标系的固定变换（工具参数）
DH参数在手眼标定中的价值： 精确的DH参数是机器人定位精度的基础。在手眼标定中，如果机器人DH参数存在误差（如连杆长度偏差、关节零点偏移），将直接导致标定结果偏差。高精度标定前，通常需要先进行机器人运动学参数标定（DH参数辨识）。
4.4 本章小结
- 坐标系定义是手眼标定的空间基准，基坐标系{B}、工具坐标系{T}、用户坐标系{U}构成核心参考框架。
- 正运动学从关节角度唯一确定末端位姿，用于标定结果验证与仿真。
- 逆运动学从末端位姿求解关节角度，存在多解和奇异问题，用于标定采集位姿规划。
- DH参数是机器人运动学建模的标准工具，其精度直接影响手眼标定的最终精度。