4. 手眼标定基础：眼在手上与眼在手外的数学模型

手眼标定，说白了就是让机器人知道“我的眼睛到底长在哪”。

我刚入行那会儿，总觉得这玩意儿就是个矩阵乘法，套个公式就完事了。直到第一次在现场调机，机械臂抓了三次零件，三次都偏了2毫米……后来才发现，我连相机装在哪儿都没算对。嗯，从那以后，我再也不敢小看这一步了。

今天咱们就把两种最常见的安装方式——眼在手上（Eye-in-Hand）和眼在手外（Eye-to-Hand）——的数学模型彻底捋一遍。

4.1 两种安装方式，到底有啥区别？

先看一张对比表，心里有个底：

你想想看，这两种方式本质上都是在解一个 AX = XB 的方程。但具体怎么列方程，区别就大了。

4.2 眼在手上（Eye-in-Hand）的数学模型

我个人习惯先画坐标系，再列方程。眼在手上的坐标系关系是这样的：

先定义几个坐标系：

• Base：机器人基座坐标系
• End：机械臂末端（法兰盘）坐标系
• Cam：相机坐标系
• Obj：标定板（目标物）坐标系

关键变换矩阵：

• T_base→end：机器人正运动学给出的末端位姿（已知）
• T_cam→obj：相机拍摄标定板得到的外参（已知）
• T_end→cam：我们要求的——手眼矩阵（固定值）
• T_base→obj：标定板在基座坐标系下的位姿（固定值）

从基座到标定板，有两条路径：

路径1：Base → End → Cam → Obj
路径2：Base → Obj（直接固定）

写成矩阵链：
T_base→obj = T_base→end × T_end→cam × T_cam→obj

因为标定板固定，所以 T_base→obj 是常量。我们移动机械臂到两个不同姿态，得到两个方程：

姿态1：T_base→obj = T_base→end1 × X × T_cam→obj1
姿态2：T_base→obj = T_base→end2 × X × T_cam→obj2

两式相减（消去 T_base→obj）：
T_base→end1 × X × T_cam→obj1 = T_base→end2 × X × T_cam→obj2

整理成标准形式：
(T_base→end2⁻¹ × T_base→end1) × X = X × (T_cam→obj2 × T_cam→obj1⁻¹)

即：A × X = X × B

这就是经典的 AX = XB 方程。A 是机械臂末端两次运动的变换，B 是相机两次观测的变换。

4.3 眼在手外（Eye-to-Hand）的数学模型

眼在手外的情况，相机固定，标定板装在机械臂末端。坐标系关系变成这样：

• Base：机器人基座坐标系
• End：机械臂末端坐标系
• Cam：相机坐标系（固定）
• Obj：标定板坐标系（装在末端）

关键变换矩阵：

• T_base→end：机器人正运动学（已知）
• T_cam→obj：相机拍摄标定板得到的外参（已知）
• T_cam→base：我们要求的——相机到基座的变换（固定值）
• T_end→obj：标定板在末端上的安装位置（固定值）

从相机到标定板，两条路径：

路径1：Cam → Base → End → Obj
路径2：Cam → Obj（直接观测）

写成矩阵链：
T_cam→obj = T_cam→base × T_base→end × T_end→obj

同样，移动机械臂到两个姿态，消去固定量 T_end→obj，得到：

(T_cam→obj2 × T_cam→obj1⁻¹) × X = X × (T_base→end2 × T_base→end1⁻¹)

还是：A × X = X × B

你看，两种方式最终都归结到同一个数学形式上。区别只在于 A 和 B 的构造方式不同。

4.4 AX = XB 的求解方法

方程 AX = XB 的解法，业内主流有两种：

我个人习惯先用Tsai法算个初值，再用非线性优化精调。这样既快又准。

skew(P_A + P_B) × P_X = P_B - P_A

其中：
P_A = 旋转矩阵 A 的旋转向量
P_B = 旋转矩阵 B 的旋转向量
P_X = 待求的旋转向量

4.5 知识结构总览

下面这张图把整个手眼标定的知识体系串起来了：

4.6 避坑指南

最后分享几个我踩过的坑，希望能帮你省点时间：

1. 运动幅度要够大——旋转角度至少30度以上，平移距离至少100mm。小幅度运动会导致方程病态。
2. 数据要覆盖工作空间——别只在一个小区域里采集。我习惯让机械臂走一个“米”字形路径，覆盖9个点。
3. 标定板要清晰——反光、模糊、遮挡都会直接影响外参精度。用亚克力背光标定板效果最好。
4. 验证环节不能省——标定完成后，让机械臂走几个验证点，计算重投影误差。误差超过0.5像素就要重新标。