2、成像模型与坐标系：像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系、世界坐标系

做线扫相机标定，绕不开坐标系。说白了，你看到的每一张图像，背后都藏着四个坐标系在来回变换。我刚开始接触这行时，也被这些坐标绕得头晕。后来亲手调过几套线扫系统，才慢慢摸清它们的脾气。

今天咱们就把这四个坐标系彻底捋清楚。你想想看，相机拍到的像素点，怎么变成真实世界里的物理位置？中间经历了什么？这就是本节要讲的核心。

2.1 四个坐标系，一个都不能少

先给个全景图。四个坐标系分别是：

• 像素坐标系：图像上的行列号，单位是像素 (pixel)
• 图像坐标系：成像平面上的物理位置，单位是毫米 (mm)
• 相机坐标系：以相机光心为原点的三维坐标系，单位是毫米 (mm)
• 世界坐标系：你自定义的全局参考系，单位是毫米 (mm)

它们的关系就像一条流水线：世界坐标 → 相机坐标 → 图像坐标 → 像素坐标。标定的本质，就是求出这条流水线上每一步的转换参数。

2.2 像素坐标系 vs 图像坐标系

这两个最容易搞混。我见过不少新手，上来就把像素坐标当物理坐标用，结果标定出来的参数全是错的。

像素坐标系 (u, v)：原点在图像左上角，u 轴向右，v 轴向下。单位是像素。说白了，就是告诉你「这个点在第几行第几列」。

图像坐标系 (x, y)：原点在光轴与成像平面的交点（主点），x 轴向右，y 轴向下。单位是毫米。它描述的是「成像平面上的实际物理位置」。

转换关系很简单：

x = (u - cx) * dx
y = (v - cy) * dy

其中 (cx, cy) 是主点像素坐标，dx、dy 是每个像素的物理尺寸（mm/pixel）。

2.3 相机坐标系：从 2D 回到 3D

相机坐标系的原点在光心，Zc 轴沿着光轴指向被摄物体，Xc 轴向右，Yc 轴向下。这是一个三维坐标系。

从相机坐标到图像坐标，用的是针孔成像模型：

x = f * Xc / Zc
y = f * Yc / Zc

这里 f 是焦距（mm）。你看，深度 Zc 被除掉了，三维信息压缩成了二维。这也是为什么单张图像无法直接恢复深度——信息丢了。

2.4 世界坐标系：你的尺子

世界坐标系是你自己定义的。你可以把原点放在标定板的第一个角点，也可以放在机台底座。怎么方便怎么来。

从世界坐标到相机坐标，需要一个刚体变换：

[Xc]   [R11 R12 R13] [Xw]   [Tx]
[Yc] = [R21 R22 R23] [Yw] + [Ty]
[Zc]   [R31 R32 R33] [Zw]   [Tz]

R 是 3x3 旋转矩阵，T 是 3x1 平移向量。合起来就是外参，描述相机在世界中的位姿。

这里有个细节：旋转矩阵虽然有 9 个元素，但自由度只有 3（绕 X、Y、Z 轴的旋转角）。所以实际标定时，我们通常用旋转向量或欧拉角来表示，减少参数冗余。

坐标系	维度	单位	原点	典型值（线扫）
像素坐标系	2D	pixel	图像左上角	u: 0~8192, v: 0~N
图像坐标系	2D	mm	主点 (cx, cy)	x: ±20mm, y: ±15mm
相机坐标系	3D	mm	光心	Zc: 100~1000mm
世界坐标系	3D	mm	自定义	标定板角点

2.5 线扫相机的特殊之处

面阵相机一次拍一张图，线扫相机一次拍一行。所以线扫的成像模型里，多了一个运动维度。

具体来说，线扫相机的像素坐标 v 方向，对应的是运动平台的位移。假设平台移动速度为 V（mm/s），线扫相机的行频为 H（Hz），那么：

v = (t * V) / (dy * H)

其中 t 是曝光时刻。你看，v 坐标直接和运动耦合了。如果平台速度不稳，图像就会拉伸或压缩。

2.6 完整的转换链

把上面所有步骤串起来，从世界坐标到像素坐标的完整公式是：

s * [u]   [fx  s  cx] [R11 R12 R13 Tx] [Xw]
    [v] = [0   fy cy] [R21 R22 R23 Ty] [Yw]
    [1]   [0   0   1] [R31 R32 R33 Tz] [Zw]
                      [0   0   0    1 ] [1 ]

左边 s 是尺度因子，右边第一个矩阵是内参矩阵 K，第二个是外参矩阵 [R|T]。

标定的任务，就是解出 K 和 [R|T] 里的所有未知数。

2.7 畸变模型：理想很丰满，现实很骨感

上面讲的都是理想针孔模型。但实际镜头有畸变，尤其是线扫相机常用的柱面镜头，畸变更明显。

常见的畸变有两种：

• 径向畸变：光线通过镜头边缘时弯曲，表现为图像桶形或枕形失真
• 切向畸变：镜头与成像平面不平行，表现为图像倾斜

畸变校正公式（以径向畸变为例）：

x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r^2 = x^2 + y^2，k1、k2、k3 是畸变系数。