第4章图像几何变换

缩放 · 旋转 · 平移 · 仿射变换 · 透视变换 —— 原理与实现

几何变换是图像预处理中最基础也最核心的操作之一。它通过重新映射像素坐标来改变图像的形状、位置或视角，广泛应用于数据增强、图像配准、相机校正等场景。本章将系统讲解五种基本几何变换的数学原理与编程实现。

变换类型	自由度	矩阵形式	典型应用
缩放 (Scale)	2 (sx, sy)	对角矩阵	图像金字塔、缩略图
旋转 (Rotation)	1 (θ)	2×2 旋转矩阵	图像校正、数据增强
平移 (Translation)	2 (tx, ty)	平移向量	目标居中、滑动窗口
仿射变换 (Affine)	6	2×3 矩阵	通用线性变换 + 平移
透视变换 (Perspective)	8	3×3 矩阵	视角校正、文档扫描

1. 图像缩放

缩放通过乘以缩放因子改变图像尺寸。设原坐标 (x, y)，缩放后坐标 (x', y') = (sx·x, sy·y)。
实现时需进行插值（最近邻、双线性、双三次等）以避免锯齿。

2. 图像旋转

绕原点逆时针旋转 θ 角度：
x' = x·cosθ - y·sinθ, y' = x·sinθ + y·cosθ。
实际以图像中心为旋转点，需配合平移操作。

3. 图像平移

将图像沿 x 和 y 方向移动 (tx, ty)：x' = x + tx, y' = y + ty。平移不改变像素值，仅改变位置。

4. 仿射变换

仿射变换是线性变换 + 平移，保持平行性和共线性。矩阵形式：

⎡ x' ⎤   ⎡ a  b  tx ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ y' ⎥ = ⎢ c  d  ty ⎥ ⎢ y ⎥
⎣ 1  ⎦   ⎣ 0  0  1  ⎦ ⎣ 1 ⎦

OpenCV 中通过 cv2.getAffineTransform(src, dst) 计算矩阵，再用 cv2.warpAffine 执行。

5. 透视变换

透视变换（投影变换）提供更大的自由度，可模拟相机视角变化。矩阵为 3×3，共 8 个自由度：

⎡ x' ⎤   ⎡ h11  h12  h13 ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ y' ⎥ = ⎢ h21  h22  h23 ⎥ ⎢ y ⎥
⎣ w' ⎦   ⎣ h31  h32  1   ⎦ ⎣ 1 ⎦

最终像素坐标 (x'/w', y'/w')。OpenCV 使用 cv2.getPerspectiveTransform 和 cv2.warpPerspective。

6. Python 实现示例 (OpenCV)

核心函数速查

import cv2
import numpy as np

img = cv2.imread('input.jpg')
h, w = img.shape[:2]

# 缩放
resized = cv2.resize(img, (400, 300), interpolation=cv2.INTER_LINEAR)

# 旋转 (绕中心)
M_rot = cv2.getRotationMatrix2D((w//2, h//2), 45, 1.0)
rotated = cv2.warpAffine(img, M_rot, (w, h))

# 平移
M_trans = np.float32([[1, 0, 50], [0, 1, 30]])
translated = cv2.warpAffine(img, M_trans, (w, h))

# 仿射变换
src_pts = np.float32([[0,0], [w-1,0], [0,h-1]])
dst_pts = np.float32([[30,20], [w-50,10], [40,h-30]])
M_affine = cv2.getAffineTransform(src_pts, dst_pts)
affined = cv2.warpAffine(img, M_affine, (w, h))

# 透视变换
src_quad = np.float32([[0,0], [w-1,0], [w-1,h-1], [0,h-1]])
dst_quad = np.float32([[50,30], [w-40,20], [w-60,h-50], [40,h-40]])
M_persp = cv2.getPerspectiveTransform(src_quad, dst_quad)
perspected = cv2.warpPerspective(img, M_persp, (w, h))

7. 变换对比总结

缩放：改变尺寸，需插值；不改变内容结构。
旋转：改变方向，注意边界裁剪与填充。
平移：移动位置，简单高效。
仿射变换：线性 + 平移，保持平行性；可用于任意四边形到平行四边形的映射。
透视变换：更一般的投影，可模拟三维视角；四边形到任意四边形。

第4章 图像几何变换