2. 相机成像模型：针孔模型、透镜模型、坐标系转换

相机是怎么把三维世界变成二维图像的？这个问题，我刚开始做图像处理时也琢磨了很久。说白了，成像模型就是一套数学规则，告诉我们光线怎么走、像素怎么来。今天咱们就把针孔模型、透镜模型和坐标系转换这三块彻底讲透。

2.1 针孔模型——最朴素的成像原理

针孔模型是相机成像的"理想状态"。你想想看，一个小孔，光线穿过它，在后面的平面上形成倒像。这就是最原始的相机。

数学上，针孔模型用四个坐标系来描述：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系。我习惯把它们分成两组来理解：

• 三维部分：世界坐标系 → 相机坐标系（刚体变换）
• 二维部分：相机坐标系 → 图像坐标系（透视投影）→ 像素坐标系（离散化）

投影公式很简单：

// 从相机坐标系 (Xc, Yc, Zc) 到图像坐标系 (x, y)
x = f * Xc / Zc
y = f * Yc / Zc

// 其中 f 是焦距，单位是毫米

嗯，这里要注意：针孔模型假设光线是直线传播，没有畸变。但现实中的镜头不是这样的。我在一个手机摄像头项目里就吃过这个亏——直接用针孔模型标定，结果边缘畸变校正得一塌糊涂。

2.2 透镜模型——更接近真实世界

真实镜头用的是透镜组，不是小孔。透镜模型在针孔模型基础上，引入了两个关键修正：

1. 径向畸变：光线通过透镜边缘时弯曲更厉害，产生"桶形"或"枕形"畸变
2. 切向畸变：透镜与成像平面不平行，产生"梯形"畸变

我曾经在一个工业检测项目里，用广角镜头拍电路板。边缘的焊点都歪了，算法死活检测不准。后来一查，径向畸变系数 k1 都到 -0.35 了，不校正根本没法用。

畸变模型用多项式表示：

// 径向畸变
x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

// 切向畸变
x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

// 其中 r^2 = x^2 + y^2

2.3 坐标系转换——把世界变成像素

坐标系转换是整个成像模型的"粘合剂"。我把它拆成三步走：

步骤	变换	参数	说明
1	世界 → 相机	旋转矩阵 R + 平移向量 t	刚体变换，6个自由度
2	相机 → 图像	焦距 f	透视投影，3D变2D
3	图像 → 像素	主点 (cx, cy) + 像素尺寸 (dx, dy)	离散化，单位从mm变pixel

完整的投影公式写成矩阵形式：

// 齐次坐标形式
s * [u]   [fx  0  cx]   [R11 R12 R13 t1]   [Xw]
    [v] = [ 0 fy cy] * [R21 R22 R23 t2] * [Yw]
    [1]   [ 0  0  1]   [R31 R32 R33 t3]   [Zw]
                                               [1 ]

// 简化写法：s * p_pixel = K * [R|t] * P_world
// K 是内参矩阵，[R|t] 是外参矩阵

2.4 知识体系总览

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。我建议你把它当作"地图"，后面讲畸变校正和色彩校正时，随时回来对照。

2.5 内参与外参——标定的核心

相机标定，说白了就是求内参和外参。我整理了一个对比表，方便你理解：

参数类型	包含内容	物理意义	标定方法
内参	fx, fy, cx, cy, 畸变系数	镜头本身的固有属性	张正友标定法（棋盘格）
外参	R (3x3), t (3x1)	相机在世界坐标系中的位姿	PnP / 直接线性变换

2.6 从模型到校正——承上启下

理解了成像模型，畸变校正就变成了一个"反问题"：已知畸变后的像素坐标，求它在理想针孔模型下的位置。具体来说：

1. 用内参把像素坐标反投影到归一化平面
2. 用畸变模型计算畸变后的坐标
3. 用内参重新投影回像素坐标
4. 双线性插值得到校正后的像素值

这个过程，说白了就是"先找到每个像素在理想图像中应该在哪，然后去原图里采样"。我在做实时视频畸变校正时，会把映射关系预先算好存成查找表（LUT），这样每帧只需要查表+插值，速度能快10倍以上。