3. 相机标定基础：内参矩阵、外参矩阵、畸变参数、张正友标定法原理

相机标定，说白了就是给相机做一次「视力矫正」。

你想想看，镜头不是完美的。它会把直线拍弯，把正方形拍成桶形。如果你要做运动对焦追踪，相机连世界坐标和像素坐标的对应关系都搞不清楚，那后面的算法全是白搭。

我个人习惯，拿到一个新相机，第一件事就是标定。不标定，心里没底。

3.1 四个核心概念：你必须要搞懂

相机标定到底在算什么东西？其实就四个：内参、外参、畸变参数，以及怎么算出来的——张正友标定法。

3.2 内参矩阵：相机的「基因」

内参矩阵描述的是：三维空间里的点，是怎么投影到二维像素平面上的。

公式长这样：

     [ fx  0  cx ]
K =  [ 0  fy  cy ]
     [ 0   0   1 ]

• fx, fy：焦距，单位是像素。注意，不是毫米，是像素。为什么？因为传感器像素大小不同，直接用像素更省事。
• cx, cy：光心，理论上在图像正中心，实际上会有偏移。

我在项目中遇到过一件事：有个同事拿手机摄像头做AR，标定出来的cx偏了20个像素。他死活找不到原因，最后发现是手机摄像头模组装配公差。嗯，这就是内参的意义——告诉你相机真实的「出厂状态」。

3.3 外参矩阵：相机在哪儿？在看哪儿？

外参矩阵描述的是：世界坐标系和相机坐标系之间的变换关系。

说白了，就是相机在世界里怎么摆的。

[R | t]

• R：旋转矩阵，3x3，描述相机朝哪个方向看。
• t：平移向量，3x1，描述相机在哪儿。

外参是动态的。运动对焦追踪里，相机在动，目标在动，外参每一帧都在变。这也是为什么我们要做实时追踪——外参变了，投影关系就变了。

3.4 畸变参数：镜头的「原罪」

没有镜头是完美的。畸变主要分两种：

畸变类型	表现	数学参数
径向畸变	直线变弯，越靠近边缘越明显	k1, k2, k3
切向畸变	镜头和传感器不平行，画面倾斜	p1, p2

径向畸变最常见。广角镜头尤其严重。你拍一张棋盘格，边缘的格子都是弯的。

矫正公式大概是这样：

x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y

看着复杂？其实OpenCV一行代码就搞定了。但理解原理很重要——你至少要知道，畸变矫正是用多项式拟合出来的近似。

3.5 张正友标定法：为什么它是主流？

张正友标定法，1998年提出，到现在还是工业界的主流。为什么？

• 只需要一张棋盘格，打印出来贴在平面上就行。
• 不需要知道相机的位置，拍几张不同角度的照片就行。
• 精度够用，对于大多数运动追踪场景，绰绰有余。

它的核心思想很简单：

1. 拍一张棋盘格照片。
2. 检测棋盘格的角点（亚像素精度）。
3. 利用棋盘格是「平面」这个约束，建立单应性矩阵。
4. 从多张照片的单应性矩阵中，解出内参和外参。
5. 用最小二乘法优化所有参数，包括畸变参数。

下面这张图，就是整个流程的骨架：

3.6 实战建议：标定到底怎么做？

给你一套我自己的标定流程：

1. 打印棋盘格：格子大小要量准，误差不要超过0.1mm。
2. 贴在一个平面上：最好是玻璃板或亚克力板，保证平整。
3. 拍10-20张照片：角度要丰富，有俯仰、有旋转、有远近。
4. 用OpenCV的calibrateCamera()：一行代码搞定。
5. 检查重投影误差：小于0.5像素就算合格。

3.7 标定结果怎么用？

标定完了，你得到的是：

• 内参矩阵K：存好，以后每个项目都用它。
• 畸变系数：用OpenCV的undistort()或initUndistortRectifyMap()做矫正。
• 外参：每一帧重新算，或者用PnP算法实时解算。

在运动对焦追踪里，标定是第一步，也是最重要的一步。内参不准，后面的三角测量、位姿估计全是错的。别偷懒，好好标。