标定基础理论：相机模型与坐标系转换

各位同学，今天我们来啃一块硬骨头——相机模型和坐标系转换。说实话，我刚入行那会儿，觉得这东西就是一堆数学公式，没啥实际用。直到有一次，我标定出来的内参矩阵，算出来的投影点跟实际图像差了十几个像素……嗯，从那以后，我再也不敢小看这部分了。

针孔相机模型：最朴素的成像原理

咱们先聊聊针孔模型。说白了，它就是描述「三维世界里的一个点，是怎么跑到二维图像上的」。你想想看，光线从物体表面反射，穿过一个小孔，投射到后面的感光面上——这就是最原始的相机。

数学上，一个三维点 P(X, Y, Z) 投影到图像上的位置 p(x, y) 满足：

x = f * (X / Z)
y = f * (Y / Z)

这里的 f 是焦距。我在项目中遇到过一个问题：用手机拍的标定板，算出来的焦距跟镜头标称值差了一大截。后来发现，是因为手机镜头有自动对焦，焦距一直在变。所以啊，标定前一定要锁死焦距。

坐标系转换：从世界到像素的四步跳

一个三维点要变成图像上的像素，中间要经历四次坐标变换。我习惯把这四个坐标系记成一条流水线：

1. 世界坐标系 → 我们定义的三维空间，单位是毫米或米
2. 相机坐标系 → 以相机光心为原点，Z轴指向镜头前方
3. 图像坐标系 → 在成像平面上，单位是毫米，原点在光轴与平面交点
4. 像素坐标系 → 最终图像，单位是像素，原点在左上角

为什么会搞这么复杂？说白了，每个坐标系都有自己的「舒服区」。世界坐标系方便我们描述物体位置，相机坐标系方便描述投影关系，像素坐标系方便计算机读取。你硬要把它们混在一起，公式会变得一塌糊涂。

外参矩阵：世界怎么「看」相机

外参矩阵描述的是世界坐标系和相机坐标系之间的相对关系。它由两部分组成：

• 旋转矩阵 R（3×3）—— 描述两个坐标系之间的旋转
• 平移向量 t（3×1）—— 描述两个坐标系原点之间的偏移

数学表达式很简单：

P_camera = R * P_world + t

我曾经踩过一个坑：用张正友标定法算出来的外参，把旋转矩阵转成欧拉角后，角度值完全对不上。后来才发现，是我把旋转矩阵的转置搞反了。记住，R 是从世界坐标系到相机坐标系的旋转，方向别搞反。

内参矩阵：相机自己的「基因」

内参矩阵描述的是相机坐标系到像素坐标系的映射。它长这样：

K = [fx   0   cx]
    [ 0   fy   cy]
    [ 0    0    1]

其中：

• fx, fy —— 焦距在x、y方向上的像素尺度（通常很接近）
• cx, cy —— 光心在像素坐标系中的位置（理论上在图像中心）

你想想看，为什么要有 fx 和 fy 两个值？因为像素不一定是正方形的。我遇到过一些工业相机，像素是矩形的，fx 和 fy 能差 5% 以上。如果你强行设成一样，标定出来的结果就会有系统误差。

完整投影公式：把一切串起来

把外参和内参串起来，一个三维点 P_w 到像素 p 的完整投影公式就是：

p = K * [R | t] * P_w

展开写就是：

s * [u]   [fx  0  cx]   [r11 r12 r13 t1]   [Xw]
    [v] = [ 0  fy cy] * [r21 r22 r23 t2] * [Yw]
    [1]   [ 0   0  1]   [r31 r32 r33 t3]   [Zw]
                                               [1]

这里的 s 是尺度因子，说白了就是齐次坐标归一化用的。我刚开始学的时候，总觉得这个 s 是多余的。后来做三维重建，发现没有 s 你根本没法处理深度信息——同一个物体离得近就大、离得远就小，s 就是用来描述这个「缩放」的。

畸变模型：针孔模型的「补丁」

针孔模型是理想情况。真实镜头有畸变，主要是两种：

畸变类型	产生原因	典型表现
径向畸变	镜头曲率不完美	直线变弯，越靠近边缘越明显
切向畸变	镜头与感光面不平行	图像倾斜，像被「拧」了一下

畸变参数通常用 k1, k2, k3（径向）和 p1, p2（切向）来表示。标定时，我们会先估计内参外参，再优化畸变参数。我个人的习惯是：先做一次粗标定，看看畸变参数的量级。如果 k1 超过 0.5，说明镜头畸变很大，可能需要换镜头或者做更精细的标定。

小结：标定的本质是什么？

说了这么多，其实标定的本质就一句话：求解内参矩阵、外参矩阵和畸变参数。你给相机拍一堆已知尺寸的标定板图片，然后让计算机去反推这些参数。参数准了，后面的三维重建、测距、AR 叠加才能靠谱。