2. 静态标定方法：最小二乘法线性拟合、多项式拟合、分段线性插值、查表法标定

静态标定，说白了就是给传感器“定标尺”。你拿一个标准量去怼它，看它输出什么，然后反过来建立输入和输出之间的数学关系。这步做不好，后面什么滤波、融合都是白搭。

我个人习惯把静态标定分成两大类：模型驱动和数据驱动。前者假设传感器特性符合某种数学形式，后者直接拿数据说话。今天聊的四种方法，正好覆盖了这两个方向。

2.1 最小二乘法线性拟合

这是最基础、最常用的方法。假设传感器输出 y 和被测物理量 x 是线性关系：y = kx + b。我们通过实验拿到 N 组数据 (x_i, y_i)，然后找一条直线，让所有点到这条直线的“垂直距离平方和”最小。

公式很简单，我就不推了。直接上代码：

// 最小二乘法线性拟合，输入x和y数组，长度n，输出斜率k和截距b
void linear_fit(float *x, float *y, int n, float *k, float *b) {
    float sum_x = 0, sum_y = 0, sum_xy = 0, sum_x2 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum_x  += x[i];
        sum_y  += y[i];
        sum_xy += x[i] * y[i];
        sum_x2 += x[i] * x[i];
    }
    float denom = n * sum_x2 - sum_x * sum_x;
    if (fabs(denom) < 1e-12) {
        // 防止除零，理论上不会发生
        *k = 0; *b = sum_y / n;
        return;
    }
    *k = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / denom;
    *b = (sum_y * sum_x2 - sum_x * sum_xy) / denom;
}

线性拟合的适用场景：

• 传感器本身线性度好（比如大部分应变式压力传感器）
• 测量范围窄，非线性可以忽略
• MCU资源紧张，算不了复杂模型

2.2 多项式拟合

当传感器特性明显弯曲时，多项式拟合就派上用场了。一般用二次或三次多项式就够了，次数太高反而容易过拟合。

多项式拟合的核心是构造范德蒙矩阵，然后解正规方程。我建议用二次多项式起步：y = a0 + a1*x + a2*x²。

// 二次多项式拟合，使用最小二乘法
// 输入x, y数组，长度n，输出系数a0, a1, a2
void poly2_fit(float *x, float *y, int n, float *a0, float *a1, float *a2) {
    float s0 = n, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, s4 = 0;
    float t0 = 0, t1 = 0, t2 = 0;
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        float xi = x[i], yi = y[i];
        float xi2 = xi * xi;
        s1 += xi;   s2 += xi2;
        s3 += xi2 * xi;
        s4 += xi2 * xi2;
        t0 += yi;
        t1 += yi * xi;
        t2 += yi * xi2;
    }
    
    // 解3元一次方程组（克莱姆法则或高斯消元）
    // 这里省略具体求解代码，实际工程中建议用矩阵运算库
    // ...
}

多项式拟合的优缺点：

2.3 分段线性插值

这个方法很实用。把整个量程切成若干段，每段内用直线连接。说白了就是“化曲为直”，用多段折线去逼近真实曲线。

分段线性插值的核心是分段点的选择。我一般这么干：

1. 在曲率大的地方多取点，曲率小的地方少取点
2. 保证每段内的非线性误差小于传感器本身精度的1/3
3. 分段数通常取8~32段，具体看MCU的Flash和RAM

// 分段线性插值查表
// table_x: 分段点物理量值，table_y: 对应传感器输出值
// n: 分段点数量，x: 当前测量值
float linear_interp(float *table_x, float *table_y, int n, float x) {
    // 边界处理
    if (x <= table_x[0]) return table_y[0];
    if (x >= table_x[n-1]) return table_y[n-1];
    
    // 二分查找所在区间
    int lo = 0, hi = n - 1;
    while (hi - lo > 1) {
        int mid = (lo + hi) / 2;
        if (x < table_x[mid]) hi = mid;
        else lo = mid;
    }
    
    // 线性插值
    float t = (x - table_x[lo]) / (table_x[hi] - table_x[lo]);
    return table_y[lo] + t * (table_y[hi] - table_y[lo]);
}

2.4 查表法标定

查表法是最直接的方法——把标定数据直接存成表格，用的时候查一下。适合传感器特性非常复杂、没法用简单数学公式描述的情况。

查表法的关键设计点：

• 表格密度：点越多精度越高，但占用的存储也越大
• 查找算法：顺序查找、二分查找、索引查找
• 插值方式：查表通常配合插值使用，纯查表（最近邻）精度太低

2.5 四种方法对比与选型

这四种方法各有各的脾气。我整理了一张对比表，方便你选型时参考：

选型建议：

• 如果MCU是8位机、Flash只有几KB，老老实实用线性拟合或低次多项式
• 如果传感器非线性严重但变化平缓，分段线性插值是性价比之王
• 如果精度要求极高且存储管够，查表法+线性插值是最稳妥的方案
• 如果既要精度又要速度，可以考虑混合方案：粗查表+细插值