数学模型：Lens Shading 的增益模型与多项式拟合原理

镜头阴影校正，说白了就是给图像四角「补光」。但怎么补？补多少？这背后得有一套数学模型撑着。我早年刚接触 ISP 时，以为直接乘个固定系数就行，结果校正出来的图像中间亮、四周暗，或者出现一圈圈的光晕——嗯，那画面简直没法看。

后来我才明白，镜头阴影的衰减规律是有数学描述的。你只要找到这个规律，就能精确地算出每个像素该补多少。这一章，我们就来拆解这个数学模型。

镜头阴影的物理本质

先想一个问题：为什么镜头边缘进光少？

原因有两个：

• 余弦四次方定律：光线从镜头中心到边缘，入射角度变大，传感器接收到的光强按 cos⁴θ 衰减。θ 是光线与光轴的夹角。
• 机械遮挡：镜头镜筒、滤镜支架等结构，会遮挡一部分边缘光线，尤其是大光圈时更明显。

这两个因素叠加，就形成了我们看到的亮度从中心到边缘逐渐下降的「阴影」。

增益模型：从衰减到补偿

校正的思路很简单：

1. 测量出每个像素位置的衰减系数。
2. 计算一个增益值，让衰减后的像素恢复到目标亮度。
3. 把这个增益值乘到原始像素上。

用公式表达就是：

I_corrected(x, y) = I_raw(x, y) × G(x, y)

其中 G(x, y) 就是我们要找的增益。它和衰减系数是倒数关系：

G(x, y) = 1 / attenuation(x, y)

衰减系数怎么来？靠标定。你拍一张均匀亮度的灰卡，然后看每个像素的亮度值。中心最亮，边缘最暗。中心亮度除以边缘亮度，就是该位置的衰减系数。

多项式拟合：用数学描述衰减

直接存储每个像素的增益值？太浪费了。一个 1200 万像素的传感器，光增益表就要几十 MB。而且不同镜头、不同光圈、不同焦距，增益表都不一样。

所以，我们用多项式来拟合这个增益曲面。常用的模型有两种：

模型类型	公式形式	适用场景
径向多项式	G(r) = 1 + a₁r² + a₂r⁴ + a₃r⁶	中心对称的镜头阴影
二维多项式	G(x,y) = 1 + b₁x² + b₂y² + b₃x²y² + ...	非对称或传感器倾斜的情况

其中 r 是像素到图像中心的归一化距离，范围 0~1。为什么只用偶次项？因为镜头阴影是中心对称的，奇次项会引入不对称，反而破坏校正效果。

我个人习惯用径向多项式，参数少、计算快。你看，只需要 3 个系数（a₁, a₂, a₃），就能描述整个增益曲面。存储成本从几十 MB 降到 12 个字节。

拟合过程：从数据到系数

拟合的步骤其实不复杂：

1. 采集数据：拍一张均匀灰卡，提取每个像素的亮度值。
2. 计算增益：中心亮度除以每个像素的亮度，得到增益样本。
3. 建立方程：把每个像素的 r 值和增益值代入多项式，得到超定方程组。
4. 求解系数：用最小二乘法求解多项式系数。

代码实现大概是这样的：

// 伪代码：径向多项式拟合
// 输入：像素坐标 (x, y)，增益值 gain
// 输出：多项式系数 a1, a2, a3

for each pixel (x, y):
    r = sqrt(x*x + y*y) / max_radius
    // 构建矩阵 A 和向量 b
    A[i][0] = r*r      // r² 项
    A[i][1] = r*r*r*r  // r⁴ 项
    A[i][2] = r*r*r*r*r*r // r⁶ 项
    b[i] = gain - 1

// 最小二乘法求解 A * coeffs = b
coeffs = (A^T * A)^(-1) * A^T * b

多项式阶数的选择

阶数越高，拟合越精确，但计算量也越大。而且阶数过高会过拟合——把噪声也拟合进去了。

我一般这样选：

• 2 阶（r² 项）：简单镜头，或者对精度要求不高的场景。计算量最小。
• 4 阶（r² + r⁴）：大多数消费级镜头。我项目里 80% 的情况用这个。
• 6 阶（r² + r⁴ + r⁶）：广角镜头或高精度校正。注意防止过拟合。

你想想看，6 阶多项式在边缘区域的变化很剧烈，如果标定数据有噪声，拟合出来的曲线会「抖」得很厉害。所以，不是阶数越高越好。

增益模型的知识结构

下面这张图，把整个增益模型的逻辑串起来了：

实际项目中的注意事项

讲完了理论，说几个我在项目中踩过的坑：

• 归一化要统一：r 的计算必须用归一化距离，否则不同分辨率的传感器拟合出来的系数没法通用。我习惯把最长边的一半作为归一化因子。
• 增益不能无限大：边缘增益太大，会放大噪声。我一般限制最大增益不超过 2.5 倍，超过的部分用边缘截断处理。
• 不同通道分开拟合：R、G、B 三个通道的衰减曲线不一样。我曾经偷懒只拟合一个通道，结果校正后图像偏色严重。后来老老实实每个通道单独拟合。
• 温度影响：镜头阴影会随温度漂移。我遇到过夏天标定的系数，冬天用就偏暗了。如果产品工作温度范围大，建议做温度补偿。

好了，这一章的内容就到这里。增益模型是整个镜头阴影校正的核心，理解了它，后面的校正算法就水到渠成了。