📚 课程目录第2章畸变模型概述

畸变模型概述：从针孔到鱼眼

聊鱼眼镜头校正之前，咱们得先把“畸变”这回事儿掰扯清楚。说白了，畸变就是镜头拍出来的像，跟理想的小孔成像对不上号了。你想想看，一个完美的针孔相机模型，光线直来直去，像和物是严格的线性关系。但现实中的镜头是一堆透镜组，光线穿来穿去，不出点偏差才怪。

我个人习惯把畸变分成两大类：一类是镜头本身的光学设计带来的，另一类是装配工艺导致的。鱼眼镜头呢，它更特殊——它故意引入巨大的畸变来换取超广视角，所以它的模型跟普通镜头还不一样。

径向畸变是最常见的一种。光线通过透镜边缘时，折射角度跟中心不一样，结果就是画面边缘的直线变弯了。我刚开始做相机标定时，拍了一张棋盘格，一看边缘的格子全歪了，当时还以为相机坏了。

径向畸变分两种：

数学上，我们用多项式来近似这种畸变。设归一化坐标中的点为 (x, y)，畸变后的点为 (x_d, y_d)：

x_d = x * (1 + k1 * r² + k2 * r⁴ + k3 * r⁶)
y_d = y * (1 + k1 * r² + k2 * r⁴ + k3 * r⁶)

其中 r² = x² + y²，k1、k2、k3 就是径向畸变系数。r 越大，畸变越严重。嗯，这里要注意：k3 通常只在鱼眼镜头或大畸变镜头中才用，普通镜头用 k1、k2 就够了。

我的经验：标定普通镜头时，我一般只估计 k1 和 k2。加上 k3 反而容易过拟合，尤其是棋盘格数量不够多的时候。鱼眼镜头则必须用 k3，甚至更高阶项。

切向畸变，也叫离心畸变。原因是透镜组的光心不在一条直线上，或者传感器跟镜头不平行。说白了，就是装配公差。

我曾经遇到过一台工业相机，拍出来的图像总有一边模糊，标定后发现切向畸变系数特别大。拆开一看，果然是镜头座歪了。

切向畸变的模型是这样的：

x_d = x + [2 * p1 * x * y + p2 * (r² + 2 * x²)]
y_d = y + [p1 * (r² + 2 * y²) + 2 * p2 * x * y]

p1、p2 就是切向畸变系数。这个模型在 OpenCV 的 calibrateCamera 里是默认一起估计的。

避坑指南：我曾经在标定一个广角镜头时，发现切向畸变系数异常大。排查了半天，发现是标定板没贴平。切向畸变对装配误差很敏感，但标定板不平也会引入类似的误差。所以标定前，先确认标定板是平整的。

普通镜头的畸变模型，本质上是基于“入射角的正切”来建模的。但鱼眼镜头不一样——它的视角可以到 180° 甚至 220°，如果用正切模型，边缘的像素会被拉伸到无穷远，根本没法用。

所以鱼眼镜头采用了不同的投影方式。说白了，就是故意用非线性映射，把大视角压缩到有限的传感器上。常见的投影模型有四种：

其中 θ 是入射角，f 是焦距，r 是像高。你想想看，当 θ = 90° 时，等距投影的 r = f * π/2，而正交投影的 r = f。同样的视角，正交投影的像高更小，所以边缘压缩更厉害。

我个人在实际项目中最常用的是 等距投影模型。OpenCV 的鱼眼标定模块（fisheye::calibrate）默认用的就是它。为什么呢？因为它的数学形式简单，而且跟实际镜头的物理设计最接近——很多鱼眼镜头的光学设计就是按等距投影来的。

  关键点：鱼眼镜头的畸变校正，本质上是在“投影模型”和“畸变参数”之间做解耦。先确定投影模型，再估计畸变系数。不要混为一谈。

为了让你更直观地理解它们的区别，我画了一张对比图。横轴是入射角 θ（0° 到 180°），纵轴是归一化像高 r/f：

从图上能看出来：

我在做全景拼接项目时，遇到过一个问题：用等距投影标定后，拼接出来的图像边缘有重影。后来发现是镜头实际用的是等立体角投影，而我用了等距模型去校正。换回等立体角模型后，问题就解决了。所以，选对投影模型很重要。

OpenCV 的鱼眼模块用的是 等距投影 + 多项式畸变 的混合模型。它的完整形式是：

θ_d = θ * (1 + k1 * θ² + k2 * θ⁴ + k3 * θ⁶ + k4 * θ⁸)
x_d = (θ_d / r) * x
y_d = (θ_d / r) * y

其中 θ 是入射角，r = sqrt(x² + y²)。这个模型的好处是：它把投影模型和畸变解耦了。先通过等距投影把角度映射到像高，再用多项式修正残余畸变。

我的习惯：标定鱼眼镜头时，我一般先估计 4 个畸变系数（k1~k4）。如果标定残差还大，再考虑增加系数。但别超过 6 个，否则容易过拟合。

这一章我们聊了：