2. 相机成像模型：从针孔到非线性，从世界到像素

聊畸变校正，绕不开相机成像模型。说白了，你得先知道“理想情况下”图像是怎么来的，才能去修正那些“不理想”的偏差。这一节，我把针孔模型、非线性模型、内参外参，以及世界坐标到像素坐标的完整映射，一次性给你讲透。

2.1 针孔模型：最朴素的成像理想

针孔模型，是所有相机模型的“祖宗”。它假设光线通过一个小孔，在后面的成像平面上形成倒像。虽然简单，但它是理解内参矩阵的基础。

我个人习惯，把针孔模型拆成三步来看：

1. 光心（投影中心）：就是那个小孔的位置，记作 O。
2. 成像平面：光线穿过光心后，落在距离 f（焦距）的平面上。
3. 相似三角形：物体高度 Y 与像高 y 的关系是 y = f * (Y / Z)，其中 Z 是物体到光心的距离。

x = f * (X / Z)
y = f * (Y / Z)

嗯，这里要注意：针孔模型是线性的，它假设镜头没有任何畸变。但现实中的镜头，尤其是广角镜头，会引入明显的非线性畸变。所以，针孔模型只是我们的“起点”，不是终点。

2.2 非线性模型：现实中的镜头畸变

为什么需要非线性模型？因为真实镜头不是完美的针孔。我在项目中遇到过，用针孔模型去标定一个鱼眼镜头，结果误差大得离谱，后来才发现是径向畸变和切向畸变在作祟。

非线性模型，就是在针孔模型的基础上，加上畸变修正项。常见的畸变有两类：

2.3 内参矩阵：从物理坐标到像素坐标

内参矩阵，描述的是相机内部的几何属性。它把成像平面上的物理坐标（毫米）转换成图像上的像素坐标（像素）。

内参矩阵 K 长这样：

K = [ fx   0   cx
      0   fy   cy
      0    0    1 ]

• fx, fy：焦距在 x 和 y 方向上的像素当量（单位：像素/毫米）。
• cx, cy：主点（光轴与成像平面的交点）的像素坐标。

你想想看，为什么 fx 和 fy 可能不一样？因为像素不一定是正方形的。我遇到过一些工业相机，像素是矩形，这时候 fx 和 fy 就会有明显差异。

2.4 外参矩阵：从世界坐标系到相机坐标系

外参矩阵，描述的是相机在世界坐标系中的位置和朝向。它由旋转矩阵 R 和平移向量 t 组成。

[X_c]   [ R   t ] [X_w]
[Y_c] = [       ] [Y_w]
[Z_c]   [ 0   1 ] [Z_w]
[ 1 ]             [ 1 ]

• R：3x3 旋转矩阵，表示相机坐标系相对于世界坐标系的旋转。
• t：3x1 平移向量，表示相机光心在世界坐标系中的位置。

说白了，外参就是告诉你“相机放在哪、朝哪看”。在视觉测量中，外参的精度直接决定了三维重建的精度。我记得有一次做双目立体视觉，外参标定差了 0.1 度，结果在 2 米距离处的测量误差就达到了 5 毫米——这在实际项目中是不可接受的。

2.5 完整映射：世界坐标 → 像素坐标

把上面所有环节串起来，就是完整的成像过程：

1. 世界坐标 → 相机坐标：通过外参矩阵 [R|t]。
2. 相机坐标 → 归一化平面：除以 Z_c，得到 (x_n, y_n)。
3. 畸变修正：对 (x_n, y_n) 应用径向和切向畸变模型。
4. 归一化平面 → 像素坐标：通过内参矩阵 K。

// 1. 外参变换
[X_c, Y_c, Z_c]^T = R * [X_w, Y_w, Z_w]^T + t

// 2. 归一化
x_n = X_c / Z_c
y_n = Y_c / Z_c

// 3. 畸变修正
r² = x_n² + y_n²
x_d = x_n * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶) + 2*p1*x_n*y_n + p2*(r² + 2*x_n²)
y_d = y_n * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶) + p1*(r² + 2*y_n²) + 2*p2*x_n*y_n

// 4. 像素坐标
u = fx * x_d + cx
v = fy * y_d + cy

这个流程，就是相机成像的“完整链路”。你做的畸变校正，本质上就是在第三步“畸变修正”上做文章——通过标定得到畸变参数，然后反向修正每个像素的位置。

2.6 知识结构图：成像模型全景

下面这张图，把整个成像模型的知识结构串起来了。你可以把它当作本章的“思维导图”。

2.7 本章小结：你需要记住的

• 针孔模型是理想基础，但真实镜头必须用非线性模型。
• 内参矩阵（fx, fy, cx, cy）是相机的“身份证”，每个相机都不一样。
• 外参矩阵（R, t）是相机在空间中的“位置和姿态”。
• 从世界坐标到像素坐标，经历了四次变换：外参 → 归一化 → 畸变修正 → 内参。
• 畸变校正的精度，取决于你对这四步中每一步的建模是否准确。