2. 针孔相机模型：从物理世界到像素坐标的映射关系
相机标定这件事，说白了就是搞清楚「世界上的一个点，到底是怎么变成照片里的一个像素的」。
我刚开始做视觉的时候，觉得拍照嘛，镜头对着就完了。直到有一次做三维重建，发现重建出来的点云全是扭曲的，才意识到——不懂相机模型，你连照片都看不懂。
这一章，我们就从最经典的针孔相机模型讲起。它虽然简单，但几乎所有现代相机模型都是它的变体。
2.1 针孔相机模型：最简单的成像方式
想象一个密闭的盒子，前面戳一个小孔。光线从物体上反射，穿过小孔，在盒子后方的平面上形成一个倒立的像。
这就是针孔相机。它没有镜头，没有畸变，只有一个理想化的几何关系。
核心思想：针孔模型假设所有光线都直线传播，且只通过一个点（光心）。
这个模型里，有几个关键角色：
- 光心（O）：小孔的位置，所有光线的交点。
- 成像平面：感光元件所在的位置，像落在这里。
- 焦距（f）：光心到成像平面的距离。
- 主点（principal point）：光轴与成像平面的交点。
嗯，这里要注意：真实相机是有镜头的，镜头会引入畸变。但针孔模型是我们理解一切的基础。先把这个搞懂，后面加畸变模型就是水到渠成的事。
2.2 从世界坐标到相机坐标：刚体变换
世界上的一个点，比如墙角那个点，它在世界坐标系里有一个坐标 (X_w, Y_w, Z_w)。
但相机有自己的坐标系——它以光心为原点，光轴为 Z 轴。要把世界点转到相机坐标系，需要做一次刚体变换：旋转 + 平移。
用数学表达就是：
| X_c | | R11 R12 R13 | | X_w | | t_x |
| Y_c | = | R21 R22 R23 | | Y_w | + | t_y |
| Z_c | | R31 R32 R33 | | Z_w | | t_z |其中 R 是 3×3 旋转矩阵，t 是 3×1 平移向量。合起来，我们叫它外参（extrinsic parameters）。
我的习惯：外参描述的是「相机在世界中的位置和朝向」。每次标定完，我都会先看一眼外参——如果旋转矩阵的行列式不是 1（或者接近 1），那标定大概率有问题。
2.3 从相机坐标到图像坐标：透视投影
现在点已经在相机坐标系里了，接下来要把它投影到成像平面上。
根据相似三角形，相机坐标系下的点 (X_c, Y_c, Z_c) 在成像平面上的投影位置是：
x = f * X_c / Z_c
y = f * Y_c / Z_c这里 (x, y) 是图像物理坐标，单位是毫米。注意 Z_c 在分母上——这就是透视效应：离得远的物体看起来小。
我遇到过不少新手，在这里卡住。他们问：「为什么不是 x = f * X_c？」
你想想看，如果真是那样，那一个物体不管远近，在图像上大小都一样——那还怎么判断距离？透视投影正是三维世界在二维平面上成像的本质。
2.4 从图像坐标到像素坐标：内参矩阵
物理坐标 (x, y) 是连续的，但像素是离散的。我们需要把它映射到像素坐标系 (u, v)。
这个映射涉及两个因素：
- 缩放：每个像素在 x 和 y 方向上的物理尺寸（dx, dy）。
- 平移：主点 (u0, v0) 在像素坐标系中的位置。
写成矩阵形式：
| u | | f/dx 0 u0 | | X_c |
| v | = | 0 f/dy v0 | | Y_c |
| 1 | | 0 0 1 | | Z_c |这个 3×3 矩阵就是内参矩阵 K。它包含了焦距、像素尺寸、主点位置——这些都是相机的固有属性。
我曾经踩过的坑：有一次标定完，发现主点坐标偏离图像中心特别远。我以为是标定板没放好，折腾了半天。后来才发现——是相机传感器被装歪了。嗯，硬件问题也会反映在内参里。
2.5 齐次坐标：为什么要引入它？
你注意到没有，上面的投影公式里，Z_c 在分母上。这意味着从三维到二维的映射是非线性的。
非线性在数学上不好处理。尤其是当我们想把外参和内参串起来，写成一个统一的变换时，除法会让我们很头疼。
这时候，齐次坐标就派上用场了。
简单说，齐次坐标就是在普通坐标后面加一个维度：
- 三维点 (X, Y, Z) → 齐次坐标 (X, Y, Z, 1)
- 二维点 (u, v) → 齐次坐标 (u, v, 1)
有了齐次坐标，除法就变成了矩阵乘法。透视投影可以写成：
| u | | f_x 0 u0 0 | | X_w |
| v | = | 0 f_y v0 0 | | Y_w |
| 1 | | 0 0 1 0 | | Z_w |
| 1 |等等，这里其实省略了外参。完整的公式是：
s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X_w, Y_w, Z_w, 1]^Ts 是一个缩放因子，它让等式两边齐次坐标的最后一个分量相等。
一句话总结：齐次坐标把「除法」变成了「乘法」，把「非线性」变成了「线性」。这是计算机视觉里最优雅的数学技巧之一。
2.6 完整映射流程
把上面所有步骤串起来，从世界点到像素点的完整流程是：
- 世界坐标 (X_w, Y_w, Z_w) → 通过外参 (R, t) → 相机坐标 (X_c, Y_c, Z_c)
- 相机坐标 (X_c, Y_c, Z_c) → 通过透视投影 → 图像物理坐标 (x, y)
- 图像物理坐标 (x, y) → 通过内参 (f_x, f_y, u0, v0) → 像素坐标 (u, v)
用齐次坐标，这三步可以合并成一个矩阵乘法：
s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X_w, Y_w, Z_w, 1]^T这个公式，就是针孔相机模型的完整数学表达。你会在后面每一章里反复见到它。
下面这张图，把整个流程画了出来：
2.7 内参与外参：一张表说清楚
| 参数类型 | 符号 | 含义 | 自由度 | 是否随相机移动变化 |
|---|---|---|---|---|
| 内参 | f_x, f_y, u0, v0 | 焦距（像素单位）、主点位置 | 4 | 否（固定） |
| 外参 | R, t | 旋转矩阵、平移向量 | 6 | 是（随相机位姿变化） |
我的建议：标定的时候，内参只需要标一次。但外参每次移动相机都要重新算。所以如果你把相机固定在一个地方，内参标好了就别动它，只更新外参就行。
2.8 本章小结
针孔相机模型，是整个相机标定的基石。它告诉我们：
- 一个三维点，经过外参变换、透视投影、内参映射，最终变成一个像素。
- 齐次坐标让这个非线性过程变成了优雅的线性矩阵乘法。
- 内参是相机的固有属性，外参描述相机的位置和朝向。