3. 滤波器基础

做 DSP 算法移植，说白了就是把 PC 上跑得好好的浮点代码，硬塞进一个没有 FPU 的嵌入式芯片里。我早年第一次干这事的时候，心想不就是把 float 换成 int 嘛，结果板子一跑，出来的全是噪声。嗯，从那以后我再也不敢小看定点化了。

这一节，咱们就把浮点转定点的底裤扒干净。你搞懂了 Q 格式和溢出处理，后面写滤波器代码才不会翻车。

3.1 为什么非要做定点化？

很多低成本的 DSP 芯片、MCU，压根没有硬件浮点单元。你写个 float y = a * x + b;，编译器会给你生成一坨软浮点库调用，跑一次乘法要几十个周期。对于降噪滤波器这种实时流处理，延迟根本扛不住。

定点运算用整数加减乘除，一个周期搞定。代价就是——你得自己管小数点的位置，自己防溢出。

3.2 浮点数 vs 定点数：到底差在哪？

浮点数用科学记数法存，尾数 + 指数，动态范围大。定点数就是整数，只不过我们约定好：从最低位往左数，第几位是小数。

举个例子：

• 浮点：3.14159 → 存成 0x40490FDB（IEEE 754 单精度）
• 定点 Q16：3.14159 → 存成 0x0003243F（整数 205887，实际值 = 205887 / 65536 ≈ 3.14157）

你看，定点数本质上就是个整数，除以 2^Q 才是真实值。这个 Q 就是小数部分的位数。

特性	浮点 (float)	定点 (Q格式)
硬件支持	需要 FPU	普通 ALU 即可
运算速度	慢（软浮点更慢）	快（1~2 周期）
动态范围	极大（±10^38）	有限（由位宽决定）
精度	均匀分布	均匀分布（但范围小）
溢出风险	几乎不会	天天见

3.3 Q 格式：小数点的契约

Q 格式的写法是 Qm.n，m 是整数位，n 是小数位。对于 16 位定点数，Q1.15 表示 1 位符号 + 1 位整数 + 15 位小数。实际取值范围是 [-1, 1 - 2^-15]。

我常用的 Q 格式就三种：

• Q1.15（16位）：音频信号标准格式，范围 [-1, 1)，精度 3.05e-5
• Q1.31（32位）：中间累加结果，范围 [-1, 1)，精度 4.66e-10
• Q8.8（16位）：系数或增益，范围 [-128, 127.996)，精度 3.9e-3

为什么音频信号爱用 Q1.15？因为 ADC 出来的数据归一化到 [-1, 1)，Q1.15 刚好装得下，而且乘法结果直接是 Q2.30，右移 15 位就回到 Q1.15，非常规整。

3.4 浮点转定点的标准流程

别一上来就对着代码改类型。我总结了一套流程，你照着做，基本不会翻车。

1. 数据范围摸底：跑一遍浮点算法，记录所有变量的最大值、最小值。用 printf 打出来，或者用 IDE 的 watch 窗口。
2. 选 Q 格式：根据最大值选整数位，根据精度需求选小数位。公式：整数位 = ceil(log2(|max|)) + 1（符号位）。
3. 系数转换：coeff_q = (int16_t)(coeff_f * (1 << Q))，注意四舍五入。
4. 运算重写：乘法后右移 Q 位，加法注意扩展位宽。
5. 溢出保护：关键路径加饱和截断。

举个例子，一个一阶 IIR 低通滤波器：

// 浮点版本
float y = a0 * x + b1 * y_prev;

// 定点版本 (Q1.15)
int16_t a0_q = (int16_t)(a0 * 32768.0f + 0.5f);
int16_t b1_q = (int16_t)(b1 * 32768.0f + 0.5f);

int32_t acc;
acc = (int32_t)a0_q * (int32_t)x;       // Q2.30
acc += (int32_t)b1_q * (int32_t)y_prev; // Q2.30
y = (int16_t)(acc >> 15);               // 截断回 Q1.15

3.5 溢出处理策略：别让数据静默损坏

溢出是定点化的头号杀手。浮点溢出会变成 Inf，一眼就能看出来。定点溢出会回绕，比如 0x7FFF + 1 = 0x8000，从正最大变成负最大。滤波器里出现这种回绕，输出直接炸裂。

我常用的策略有三种：

策略	做法	适用场景
饱和截断	结果超过最大值就钳位到最大值	输出级、DAC 前
扩展位宽	中间计算用 32/64 位，最后再截断	滤波器累加、乘法链
动态缩放	根据信号能量自动调整 Q 值	AGC、自适应滤波器

饱和截断的代码实现：

int16_t sat16(int32_t x) {
    if (x > 32767) return 32767;
    if (x < -32768) return -32768;
    return (int16_t)x;
}

3.6 知识体系总览

下面这张图把定点化的核心逻辑串起来了。你从浮点出发，经过范围摸底、Q 格式选择、运算重写、溢出保护，最后落地到定点代码。每一步都有对应的坑和策略。

3.7 几个实战建议

最后，分享几个我这些年攒下来的经验：

• 先仿真再上板：在 PC 上用定点 C 库（比如 CMSIS-DSP 的定点函数）跑一遍，跟浮点结果对比。误差在 1% 以内就算合格。
• 留足头空间：滤波器中间节点的最大值往往比输入大好几倍。我习惯在 Q 格式里多留 2~3 个整数位，防止突发信号溢出。
• 别迷信 Q1.15：虽然它是音频标准，但滤波器系数、增益值经常超过 1。该用 Q2.14 或 Q3.13 就别犹豫。
• 测试边界值：用满幅正弦波（0dBFS）输入，观察滤波器内部节点有没有溢出。没有溢出才算通过。