2. 音频DSP基础

做音频DSP的朋友，迟早要面对一个现实：浮点运算虽然方便，但在嵌入式平台上，它太慢了，也太耗电了。我刚开始从PC端算法移植到ARM Cortex-M系列时，就吃过这个亏——算法在PC上跑得飞快，一上芯片就卡成PPT。后来才发现，罪魁祸首就是浮点运算。

那怎么办？用定点数。说白了，就是用整数来模拟小数运算。今天我们就聊聊定点数的那些事儿。

定点数表示：为什么不用浮点？

浮点数有指数部分和尾数部分，动态范围大，但硬件开销也大。定点数就简单了——固定的小数点位置，本质上就是个整数，只是我们约定好哪几位是小数部分。

举个例子：一个16位的定点数，如果我们约定高8位是整数部分，低8位是小数部分，那么二进制 00000001.10000000 就表示 1.5。就这么简单。

Q格式：约定大于配置

Q格式是业界约定俗成的定点数表示法。比如 Q15 表示16位有符号数，小数部分占15位（1位符号位 + 15位小数）。Q1.15 也是同样的意思。

常见的Q格式有这些：

Q格式	总位数	整数位	小数位	取值范围	精度
Q15	16	1（符号）	15	[-1, 0.99997]	3.05e-5
Q31	32	1（符号）	31	[-1, 0.9999999995]	4.66e-10
Q8.8	16	8	8	[-128, 127.996]	3.9e-3
Q4.12	16	4	12	[-8, 7.9998]	2.44e-4

我个人习惯在音频处理中用 Q15 和 Q31。为什么？因为音频信号归一化后就在 [-1, 1] 之间，Q15 和 Q31 刚好覆盖这个范围，精度也够用。

定点数加减法：简单但要注意溢出

定点数的加减法，其实就是整数的加减法。但有个坑——小数点对齐。

两个Q15数相加，直接加就行，因为小数点位置一样。但Q15和Q8.8相加呢？得先对齐。怎么对齐？把Q8.8左移7位变成Q15，或者把Q15右移7位变成Q8.8。我建议统一往高精度格式对齐，这样损失小。

// Q15 + Q15，直接加
int16_t a_q15 = 0x4000;  // 0.5
int16_t b_q15 = 0x2000;  // 0.25
int16_t sum_q15 = a_q15 + b_q15;  // 0x6000 = 0.75

// Q15 + Q8.8，先对齐
int16_t a_q15 = 0x4000;          // 0.5
int16_t b_q8_8 = 0x0040;         // 0.25 in Q8.8
int16_t b_q15 = b_q8_8 << 7;    // 左移7位变成Q15
int16_t sum_q15 = a_q15 + b_q15; // 0x6000 = 0.75

嗯，这里要注意：左移7位后，b_q15 可能溢出16位范围吗？不会，因为 Q8.8 的 0.25 左移7位后是 0x2000，还在Q15范围内。但如果 b_q8_8 是 2.0，左移7位就爆了。所以对齐前一定要确认数值范围。

定点数乘法：精度与性能的博弈

乘法是定点数运算的重头戏。两个Q15数相乘，结果是个Q30数（32位）。但我们需要把它存回16位，就得做一次缩放。

公式很简单：Q15 × Q15 = Q30 → 右移15位 → Q15

// Q15乘法，结果保留Q15
int16_t a_q15 = 0x4000;  // 0.5
int16_t b_q15 = 0x6000;  // 0.75
int32_t product = (int32_t)a_q15 * (int32_t)b_q15;  // Q30: 0x18000000
int16_t result_q15 = (int16_t)(product >> 15);     // Q15: 0x3000 = 0.375

我在项目中遇到过一个问题：两个负数相乘，结果应该是正数，但右移15位后符号位处理不对。后来发现，必须用算术右移（带符号扩展），不能是逻辑右移。C语言里对有符号整数做 >> 操作，通常是算术右移，但不同编译器行为可能不一样。保险起见，我一般这样写：

// 安全的Q15乘法
static inline int16_t q15_mul(int16_t a, int16_t b) {
    int32_t product = (int32_t)a * (int32_t)b;
    // 加上0x4000做四舍五入，提高精度
    product += 0x4000;
    return (int16_t)(product >> 15);
}

定点数除法：能避免就避免

说实话，除法在定点数里是最麻烦的。能不除就不除，能用乘法替代就用乘法替代。

如果实在躲不开，有两种做法：

• 查表法：把除数倒数做成查找表，用乘法代替除法。比如 a / b = a * (1/b)，提前算好 1/b 的定点数。
• 牛顿迭代法：用几次迭代逼近除法结果，适合没有硬件除法器的平台。

// 查表法实现Q15除法
// 假设除数b的范围是 [0.5, 1.0]
// 预计算 1/b 的Q15值
const int16_t inv_table[17] = {
    0x7FFF, 0x7FFF, 0x7FFF, 0x7FFF,  // 实际项目中需要精确计算
    // ...
};

int16_t q15_div(int16_t a, int16_t b) {
    // 先找b在表中的索引
    int idx = (b >> 11) & 0xF;  // 取高4位
    int16_t inv_b = inv_table[idx];
    return q15_mul(a, inv_b);
}

你看，最后还是回到了乘法。所以我说，定点数运算的核心就是乘法加移位。

溢出处理与饱和运算：保命符

溢出是定点数运算的头号杀手。两个0.8的Q15数相加，结果是1.6，但Q15最大只能表示0.99997，这就溢出了。

怎么办？饱和运算。就是当结果超出范围时，直接钳位到最大值或最小值。

// Q15饱和加法
int16_t q15_add_sat(int16_t a, int16_t b) {
    int32_t sum = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (sum > 0x7FFF) return 0x7FFF;   // 正饱和
    if (sum < -0x8000) return -0x8000; // 负饱和
    return (int16_t)sum;
}

很多DSP芯片都有硬件饱和指令，比如ARM Cortex-M系列的 QADD、QSUB。用这些指令，一条就能搞定饱和运算，比软件判断快得多。

知识体系总览

下面这张图，把定点数运算的核心脉络串起来了：

这张图把定点数运算的四个核心模块串起来了。从定点数表示和Q格式出发，到具体的加减乘除运算，再到溢出处理和饱和运算，最后落到硬件加速技巧。你跟着这个脉络走，基本就能把定点数玩转了。