2. 坐标系与刚体变换基础

说实话，做视觉抓取这几年，我见过太多人一上来就调模型、调参数，结果机器人抓得歪七扭八。为什么？坐标系没搞明白。你想想看，相机看到的是像素坐标，机器人动的是关节角度，这两者之间差了十万八千里。今天我们就把这个基础打牢。

2.1 四个核心坐标系

在视觉引导抓取中，我们通常要跟四个坐标系打交道。我个人习惯把它们分成两组：一组是“世界里的”，一组是“机器人里的”。

坐标系	符号	作用	典型原点
世界坐标系	W	全局参考，所有物体的位置基准	工作台一角或地面
相机坐标系	C	以相机光心为原点，Z轴指向拍摄方向	相机光心
机器人基坐标系	B	机器人本体的固定参考	机器人底座中心
工具/末端坐标系	E	夹爪或吸盘的中心	工具末端

2.2 刚体变换的数学本质

刚体变换，说白了就是“旋转+平移”。一个物体在空间里，要么转个角度，要么挪个位置，不会变形。数学上我们用齐次变换矩阵来表示：

# 齐次变换矩阵 T 的通用形式
T = | R   t |
    | 0   1 |

# 其中 R 是 3x3 旋转矩阵，t 是 3x1 平移向量
# 一个点从坐标系 A 变换到坐标系 B：
# p_B = T_A_to_B * p_A

我记得刚入行时，总觉得旋转矩阵很抽象。后来我换了个角度想：你拿一本书，先绕X轴转30度，再沿Y轴平移10厘米——这就是一个刚体变换。矩阵只是把这个过程写成了数学公式。

2.3 手眼标定的数学本质

手眼标定，是视觉引导抓取里最绕、也最关键的环节。它的数学本质是什么？一句话：求解相机坐标系与机器人末端坐标系之间的固定变换关系。

手眼系统分两种：

• Eye-to-Hand（眼在手外）：相机固定安装，看机器人和工件。标定求解的是相机到机器人基座的变换。
• Eye-in-Hand（眼在手上）：相机装在机器人末端，跟着动。标定求解的是相机到机器人末端的变换。

数学上，手眼标定归结为求解一个经典方程：

# Eye-in-Hand 的 AX = XB 问题
# A: 机器人末端的两次位姿变换
# B: 相机看到的标定板两次位姿变换
# X: 待求的手眼矩阵（相机到末端的固定变换）

# 展开形式：
# T_robot1_to_robot2 * X = X * T_cam1_to_cam2

为什么会这样？你想想看：机器人动一下，末端从位姿1走到位姿2，相机看到的标定板也从位姿1变到位姿2。这两个变化之间，夹着一个不变的X。解这个方程，就是手眼标定的数学本质。

2.4 坐标系变换链

实际抓取时，坐标变换是一条链：

1. 相机拍到工件，得到工件在相机坐标系下的坐标 p_C
2. 通过手眼矩阵 X，变换到机器人末端坐标系：p_E = X * p_C
3. 通过机器人运动学，变换到机器人基坐标系：p_B = T_E_to_B * p_E
4. 如果定义了世界坐标系，再变换到世界坐标系：p_W = T_B_to_W * p_B

这条链上任何一个环节出错，抓取就偏了。我见过一个案例，工程师把变换顺序写反了，结果机器人每次都往工件旁边10厘米处抓——还以为是视觉算法有问题。

2.5 标定实操要点

理论说完了，聊点实际的。手眼标定怎么做？我总结了几条：

• 标定板要够大：覆盖相机视野的60%以上，太小了标定精度差。
• 姿态要多样：别只在一个平面里转，上下左右前后都要有。我一般走15-20个姿态。
• 数据要筛选：标定完看一眼重投影误差，超过0.5像素的剔除掉。
• 验证不能省：标定完拿一个已知点去验证，机器人指过去，偏差在1mm以内才算合格。