3. 刚体变换与齐次矩阵
在机器人手眼标定中，相机与机器人末端之间的空间关系本质上是刚体变换——即物体在三维空间中只发生旋转和平移，不发生形变。本章将系统建立刚体变换的数学语言：旋转矩阵、平移向量、齐次坐标变换矩阵，以及如何通过链式法则串联多个坐标系。
3.1 旋转矩阵：姿态的数学表示
旋转矩阵 R 是一个 3×3 的正交矩阵（RᵀR = I，det(R) = +1），用于描述一个坐标系相对于另一个坐标系的姿态。其每一列是目标坐标系基向量在源坐标系中的投影。
| 属性 | 数学表达 | 物理含义 |
|---|---|---|
| 正交性 | RᵀR = I | 列向量单位正交，保证长度与角度不变 |
| 行列式 | det(R) = +1 | 右手系，无镜像 |
| 逆矩阵 | R⁻¹ = Rᵀ | 逆旋转等于转置，计算高效 |
| 自由度 | 3 | 绕 X、Y、Z 轴的三个旋转角 |
标定实战要点： 旋转矩阵的数值正交性会因传感器噪声而退化。在手眼标定中，通常将估计出的旋转矩阵投影到 SO(3) 流形上（如 SVD 正交化），以保证物理合法性。
3.2 平移向量：位置偏移
平移向量 t = [tx, ty, tz]ᵀ 表示一个坐标系原点在另一个坐标系中的三维位置偏移。旋转与平移共同构成刚体变换的 6 个自由度（3 旋转 + 3 平移）。
3.3 齐次坐标变换矩阵：统一旋转与平移
为了将旋转和平移统一为线性运算，引入齐次坐标。三维点 P = [x, y, z]ᵀ 的齐次表示为 [x, y, z, 1]ᵀ。刚体变换矩阵 T 为 4×4 矩阵：
T = [ R t ]
[ 0ᵀ 1 ]
其中：
R : 3×3 旋转矩阵
t : 3×1 平移向量
0ᵀ: 1×3 零行向量点 P 从坐标系 {A} 变换到 {B}：PB = TB←A · PA。
为什么用齐次矩阵？ 齐次形式将旋转与平移合并为一次矩阵乘法，避免了旋转后加平移的混合运算，使得多个变换可以连续左乘，形成简洁的链式法则。
3.4 链式法则：串联多个变换
在机器人系统中，一个物体往往经过多个坐标系传递。例如，相机看到标定板上的点，需要经过相机→机械臂末端→机械臂基座→世界坐标系的多次变换。链式法则规定：
T_世界←标定板 = T_世界←基座 · T_基座←末端 · T_末端←相机 · T_相机←标定板其中每个 T 都是 4×4 齐次矩阵，乘法顺序从右向左依次作用。注意：矩阵乘法不满足交换律，顺序错误会导致完全不同的空间映射。
常见错误： 初学者容易混淆“左乘”与“右乘”的含义。在齐次变换中，左乘表示将当前变换叠加到已有变换的外侧（即更靠近世界坐标系），右乘表示叠加到内侧（即更靠近物体坐标系）。手眼标定中，AX = XB 方程正是利用了这种链式关系。
3.5 逆变换与误差传播
已知 TB←A，其逆变换为：
T_A←B = (T_B←A)⁻¹ = [ Rᵀ -Rᵀ·t ]
[ 0ᵀ 1 ]在标定优化中，逆变换用于将误差从观测空间映射回参数空间。链式法则的误差传播遵循：
- 旋转误差：随链式长度增加，旋转误差会累积放大，尤其在远距离变换中。
- 平移误差：受旋转误差耦合影响，即使平移本身精确，旋转偏差也会导致平移投影偏差。
- 优化策略：手眼标定通常采用两步法（先解旋转，再解平移）或整体非线性优化，以抑制误差传播。
实战建议： 在标定数据采集时，尽量让机械臂末端姿态多样化（避免奇异位形），并保证标定板在相机视野中分布均匀。这能提高旋转矩阵的估计条件数，降低链式误差放大效应。
3.6 本章小结
| 概念 | 数学形式 | 标定中的作用 |
|---|---|---|
| 旋转矩阵 R | 3×3 正交矩阵 | 描述坐标系间姿态关系 |
| 平移向量 t | 3×1 向量 | 描述坐标系间位置偏移 |
| 齐次矩阵 T | 4×4 [R t; 0ᵀ 1] | 统一旋转+平移，支持链式乘法 |
| 链式法则 | 连续左乘 | 串联相机、末端、基座坐标系 |
| 逆变换 | T⁻¹ = [Rᵀ, -Rᵀt; 0ᵀ 1] | 误差反向传播与参数优化 |