📚 课程目录第3章内参与外参

3. 内参与外参

聊到相机标定，绕不开的就是内参和外参。很多初学者一看到矩阵就头大，觉得这是数学家在折腾人。其实没那么玄乎——说白了，内参是相机自己的“性格”，外参是相机在空间里的“站位”。

我刚开始做视觉项目时，也在这上面栽过跟头。有一次在产线上装了一台相机，怎么标定都对不上，折腾了两天才发现是外参算错了方向。嗯，从那以后我对这两个概念就特别较真。

3.1 相机内参矩阵：相机的“基因密码”

内参矩阵描述的是相机内部的几何特性。它告诉你：三维空间里的一个点，是怎么投影到二维图像上的。

标准形式长这样：

K = [fx  0  cx]
    [ 0  fy cy]
    [ 0   0  1]

每个符号都有物理含义：

符号	含义	单位	典型值范围
fx, fy	x、y方向的等效焦距（像素单位）	pixel	500 ~ 5000
cx, cy	主点坐标（光轴与像平面交点）	pixel	图像中心附近

我的经验：fx 和 fy 理论上应该相等，但实际生产中传感器像素不是完美的正方形，所以会有微小差异。我见过一些廉价工业相机，fx 和 fy 能差出 2~3 个像素——这种相机做高精度测量基本没戏。

内参矩阵的作用，就是把相机坐标系下的点 (Xc, Yc, Zc) 映射到像素坐标 (u, v)：

s * [u]   =   K * [Xc]
    [v]           [Yc]
    [1]           [Zc]

这里的 s 是尺度因子，说白了就是归一化用的。你想想看，三维点有深度 Zc，但像素坐标只有二维，这个 s 就是用来消掉深度的。

3.2 畸变系数：镜头不是完美的

理想情况下，镜头应该遵循小孔成像模型。但现实中的镜头都有畸变——尤其是广角和鱼眼镜头，畸变特别明显。

畸变主要分两类：

径向畸变：光线通过透镜边缘时弯曲更厉害，造成图像“桶形”或“枕形”变形
切向畸变：镜头与成像平面不平行，造成图像倾斜

数学上用多项式来建模：

径向畸变：
x_distorted = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_distorted = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)

切向畸变：
x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)]
y_distorted = y + [p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y]

畸变系数向量通常写成 5 个参数：[k1, k2, p1, p2, k3]。k1、k2、k3 是径向畸变系数，p1、p2 是切向畸变系数。

我曾经踩过的坑：有一次标定完发现校正后的图像边缘有奇怪的波纹，查了半天才发现是 k3 参数过拟合了。对于普通工业镜头，只用 k1、k2 就够了，k3 只在高畸变镜头（比如鱼眼）时才需要。别盲目加参数！

3.3 外参：相机在世界中的位置

外参描述的是相机坐标系与世界坐标系之间的变换关系。它由两部分组成：

旋转矩阵 R：3×3 的正交矩阵，描述两个坐标系之间的旋转关系
平移向量 t：3×1 的向量，描述两个坐标系原点之间的位移

外参的数学表达：

[Xc]   =   R * [Xw] + t
[Yc]         [Yw]
[Zc]         [Zw]

或者写成齐次形式：

[Xc]   =   [R | t] * [Xw]
[Yc]                [Yw]
[Zc]                [Zw]
[1]                 [1]

旋转矩阵 R 有 3 个自由度（绕 x、y、z 轴的旋转角），平移向量 t 也有 3 个自由度。所以外参一共 6 个自由度。

  关键理解：内参是固定的（相机出厂后不变），外参是变化的（每次移动相机都要重新标定）。我在做机器人手眼标定时，经常需要反复调整外参——因为机器人末端一动，相机的位置就变了。

3.4 完整投影模型：从世界到像素

把内参和外参串起来，就得到了完整的投影公式：

s * [u]   =   K * [R | t] * [Xw]
    [v]                [Yw]
    [1]                [Zw]
                       [1]

这个公式就是相机标定的核心。你想想看，标定板上的角点坐标 (Xw, Yw, Zw) 是已知的，图像上的像素坐标 (u, v) 是检测出来的，未知的就是 K、R、t 和畸变系数。标定的过程，就是解这个方程组。

下面这张图展示了整个流程：

3.5 标定板与角点检测

标定需要已知三维坐标的参考物。最常用的是棋盘格标定板：

棋盘格：黑白相间的方格，角点检测简单可靠
圆点阵：圆形标记，适合高精度标定
Charuco板：结合棋盘格和 ArUco 码，支持部分遮挡

我个人习惯用棋盘格，因为 OpenCV 的 findChessboardCorners() 函数非常成熟，鲁棒性很好。但要注意：

我的建议：标定板要打印在平整的硬板上，不要用普通纸。我见过有人用 A4 纸打印标定板，结果纸一弯，角点坐标全偏了，标定出来的内参误差很大。花几十块钱做个亚克力板，省心很多。

3.6 标定流程与参数求解

完整的标定流程如下：

采集图像：从不同角度拍摄 15~20 张标定板图像
角点检测：提取每张图像中的棋盘格角点
初始化内参：用线性方法估算内参矩阵
初始化外参：对每张图像估算旋转矩阵和平移向量
非线性优化：用 Levenberg-Marquardt 算法最小化重投影误差
输出结果：得到内参矩阵、畸变系数、每张图像的外参

OpenCV 中一行代码就能搞定：

ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None
)

返回的参数：

变量	含义	形状
mtx	内参矩阵 K	3×3
dist	畸变系数 [k1, k2, p1, p2, k3]	1×5
rvecs	每张图像的旋转向量（可用 Rodrigues 转矩阵）	N×3
tvecs	每张图像的平移向量	N×3

注意：旋转向量 rvecs 不是旋转矩阵！需要用 cv2.Rodrigues() 转换成 3×3 的旋转矩阵。我刚开始学的时候直接拿 rvecs 当矩阵用，结果算出来的投影坐标全错了——这个坑我替你们踩过了。

3.7 重投影误差：标定质量的标尺

标定完怎么知道结果好不好？看重投影误差。

简单说，就是把标定板上的三维角点，用标定出来的内参和外参投影回图像，算投影点和实际检测点之间的距离。误差越小，标定越准。

# 计算重投影误差
total_error = 0
for i in range(len(objpoints)):
    imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist)
    error = cv2.norm(imgpoints[i], imgpoints2, cv2.NORM_L2) / len(imgpoints2)
    total_error += error

print(f"平均重投影误差: {total_error/len(objpoints):.4f} 像素")

一般工业场景要求重投影误差小于 0.5 像素。如果误差超过 1 个像素，说明标定有问题——可能是标定板不平、图像质量差、或者角点检测不准。

  我的经验值：用 12mm 镜头配 500 万像素相机，标定 20 张图，重投影误差通常在 0.1~0.3 像素之间。如果超过 0.5，我会重新采集数据。别想着用算法去弥补数据质量的问题——数据不行，算法再牛也白搭。

好了，内参和外参就讲到这里。记住一句话：内参是相机的“基因”，外参是相机的“位置”。搞清楚了这两个概念，后面的畸变校正和三维重建就顺理成章了。