数值精度基础：浮点数与定点数的表示与区别
做模型量化，第一个绕不开的问题就是：这些数字到底是怎么存的？
FP32、FP16、BF16、INT8、INT4……光看名字就够晕的。但说白了，它们只是用不同位宽去表示一个数值。位宽越少，能表示的范围和精度就越有限——这就是量化的代价，也是量化的核心。
我个人习惯把数值精度分成两大类：浮点数和定点数。浮点数适合训练，定点数适合推理。为什么？往下看。
浮点数：FP32 / FP16 / BF16
浮点数的结构，我猜你大概知道：符号位 + 指数位 + 尾数位。但不同格式怎么切分，差别很大。
| 格式 | 总位宽 | 符号位 | 指数位 | 尾数位 | 最大正数 | 最小正数 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| FP32 | 32 | 1 | 8 | 23 | ~3.4e38 | ~1.4e-45 |
| FP16 | 16 | 1 | 5 | 10 | 65504 | ~6.0e-8 |
| BF16 | 16 | 1 | 8 | 7 | ~3.4e38 | ~1.2e-38 |
FP32 是标准单精度，训练时最常用。FP16 也叫半精度，指数位只有 5 位，范围窄了很多。BF16 是 Google 搞出来的，保留了 FP32 的 8 位指数，只砍尾数——所以它范围跟 FP32 一样大，但精度低。
关键点：BF16 的指数位和 FP32 一样，所以从 FP32 转 BF16 基本不会溢出。这在训练中非常友好。我在项目中遇到过用 FP16 训练时梯度直接炸掉的情况，换成 BF16 就稳了。
定点数：INT8 / INT4
定点数就简单多了：符号位 + 整数位，没有指数。INT8 用 8 位表示，INT4 用 4 位。范围很直观：
- INT8：有符号 -128 ~ 127，无符号 0 ~ 255
- INT4：有符号 -8 ~ 7，无符号 0 ~ 15
你想想看，一个 INT4 只能表示 16 个值。要把一个 FP32 的权重塞进 16 个格子，信息损失有多大？这就是量化要解决的核心矛盾。
注意：INT4 虽然省显存，但精度损失非常明显。我曾经在某个 NLP 模型上试过 INT4 量化，推理速度是快了，但 BLEU 掉了 3 个点——业务方直接打回。所以 INT4 一般只用在极端场景，比如手机端或边缘设备。
浮点数 vs 定点数：核心区别
我习惯用一张表来对比：
| 维度 | 浮点数 | 定点数 |
|---|---|---|
| 表示范围 | 大（指数可调） | 小（固定位宽） |
| 精度分布 | 不均匀（靠近 0 更密） | 均匀（等间隔） |
| 硬件计算 | 慢（需要指数对齐） | 快（直接整数运算） |
| 典型用途 | 训练、梯度更新 | 推理、部署 |
浮点数为什么适合训练？因为梯度值经常很小，比如 1e-6 这种。FP32 能表示，INT8 直接归零。定点数为什么适合推理？因为推理时权重和激活值可以缩放到一个固定范围，用整数算更快。
我的经验：做量化时，先搞清楚你的模型里数值分布是什么样的。如果大部分值集中在 0 附近，用 INT8 量化效果通常不错。如果分布很散，就得考虑 per-channel 量化或者更复杂的方案。
知识体系结构图
下面这张图帮你理清本章的核心逻辑：
为什么量化要用定点数？
原因其实就两个：快和省。
- 快：整数运算在 CPU/GPU/NPU 上都有专用指令，比浮点运算快 2-4 倍。我实测过一个 MobileNet，INT8 推理比 FP32 快了 3.2 倍。
- 省：INT8 只占 1/4 的存储，INT4 只占 1/8。模型从 500MB 缩到 125MB，加载时间、内存占用都大幅下降。
但代价也很明显：精度损失。你想想看，一个 FP32 的权重可能是 0.123456，INT8 只能表示到 0.12 或者 0.13，小数点后第三位以后全丢了。如果模型对精度敏感，量化后效果会明显变差。
避坑指南：我曾经在某个图像分类模型上做 INT8 量化，Top-1 准确率从 76.3% 掉到 74.1%。后来发现是激活值的分布太宽，量化步长太大。改用 per-tensor 的对称量化后，准确率回到了 75.8%。所以量化不是简单的“转格式”，得根据数据分布选策略。
浮点数转定点数：量化本质
量化的数学本质很简单：
Q = round(R / S) + Z其中：
- R：原始浮点数
- Q：量化后的整数
- S：缩放因子（步长）
- Z：零点偏移
反量化就是逆过程：
R = (Q - Z) * S说白了，就是用更少的比特去近似原来的数值。S 越小，精度越高，但能表示的范围越小。S 越大，范围越大，但精度越差。这就是量化的精度-范围权衡。
我的建议：刚开始做量化时，先用 INT8 对称量化（Z=0）试试。对称量化实现简单，硬件支持也好。如果精度不够，再考虑非对称量化或者 per-channel 量化。别一上来就上 INT4，除非你真的很缺显存。
本章小结
数值精度是量化的地基。FP32 是标准，FP16/BF16 是训练时的折中，INT8/INT4 是推理时的利器。理解它们的表示方式和区别，你才能知道量化到底损失了什么、换来了什么。