2. 位移传感器与测量链建模

位移测量系统能否给出可信结果，取决于两件事：传感器本身是否把位移正确转换为可测信号，以及从被测对象到最终读数之间的整条测量链是否被正确建模。工程上常见的位移传感器包括电感式、电容式、光栅式和激光干涉式，它们的物理机理、量程、分辨力、线性度和适用环境差异很大，因此建模方法也不能一概而论。

四类位移传感器的转换机理

电感式位移传感器基于电磁感应：线圈与铁磁衔铁之间的气隙变化会改变磁路磁阻，进而改变线圈电感。以差动电感为例，衔铁偏离平衡位置时，两个次级线圈的感应电压一增一减，其差值经相敏解调后与位移近似成正比。它的典型量程为 ±1 mm 到 ±10 mm，分辨力可达亚微米级，但存在电磁非线性、剩磁和温度漂移，输出对激励频率敏感。

电容式位移传感器利用平行板电容公式 C = εA/d。被测面作为一极板，探头电极作为另一极板，位移改变极距 d 或有效面积 A，从而改变电容。它分辨力极高（可达纳米级）、频响宽、非接触，但量程小（通常几十微米到几毫米），且对介质介电常数、湿度、边缘效应和探头—目标面平行度非常敏感。测量前必须用已知标准量块或激光干涉仪标定其灵敏度系数。

光栅式位移传感器通过主光栅与指示光栅叠合产生莫尔条纹，光电元件把条纹移动转换为电信号。每移动一个栅距，条纹移动一个周期，经细分和辨向后输出计数脉冲。其分辨力由栅距和电子细分数共同决定，例如 20 μm 栅距配 100 细分可得 0.2 μm 当量。光栅的误差主要来自栅距累积误差、细分误差、安装偏角和阿贝误差。

激光干涉式位移传感器以激光波长为基准，通过迈克尔逊干涉结构把位移转换为干涉条纹的明暗变化，每移动 λ/2 对应一个条纹周期，再经电子细分得到纳米级分辨力。它是目前精度最高的位移测量方式之一，但对空气折射率（温度、气压、湿度）、光路准直、振动和死程误差极为敏感，通常需要环境补偿。

测量链误差源分解

把整条链拆开看，误差源可分为四类。第一类是安装与几何误差：传感器测量轴与被测位移方向不重合会产生余弦误差，偏角 θ 带来的相对误差约为 1−cosθ，θ=1° 时已达 1.5×10⁻⁴；测量点偏离运动轴线则引入阿贝误差，其大小等于偏置距离乘以角位移。第二类是传感器固有误差，包括非线性、迟滞、重复性、零点和灵敏度温漂，这些通常由厂家给出，但必须用现场校准数据验证。第三类是信号链误差，如前置放大器噪声、ADC 量化误差、光栅细分误差、滤波器相位延迟。第四类是环境与基准误差，温度变化既改变被测件长度，也改变传感器自身特性；激光干涉还受空气折射率影响，需用 Edlén 公式修正。

分解的意义在于：每一类误差都可以单独评估并折算到输出端，再按不确定度传播律合成。若某类误差贡献显著，就应优先在该环节采取措施，而不是笼统地提高整机精度。

输入输出特性建模方法

建模分静态和动态两条线。静态建模时，在量程内均匀取 11 个以上校准点，正反行程各测 3 次，用最小二乘拟合多项式 y = a₀ + a₁x + a₂x²。一次项系数 a₁ 即灵敏度，残差最大值与满量程之比为非线性度。例如某电感传感器量程 ±2 mm，拟合得 a₁ = 2.503 V/mm，最大残差 0.012 V，满量程输出 5.006 V，则非线性度为 0.24%。迟滞由正反行程同一校准点的最大差值除以满量程得到，重复性由多次循环的标准差评估。

动态建模时，对传感器施加阶跃位移或扫频激励，记录输出响应。若响应呈指数上升，用一阶模型 τ·dy/dt + y = K·x 拟合，时间常数 τ 取达到 63.2% 稳态值的时间；若出现超调振荡，则用二阶模型，由超调量反算阻尼比 ζ，由振荡周期反算固有频率 ωₙ。带宽 f₋₃dB 是幅频特性下降 3 dB 的频率，采样率应不低于信号带宽的 10 倍，否则会因混叠和相位延迟引入动态误差。

从模型到补偿

得到静态模型后，可直接在采集软件中做逆运算补偿：x = (y − a₀ − a₂x²)/a₁，其中二次项用迭代或查表修正。动态模型则用于设计数字滤波器或预测相位延迟。若不确定度合成结果 U 大于被测公差的三分之一，说明测量链能力不足，应回到误差源分解，找出主导项并针对性改进，而不是盲目更换更高精度传感器。

实际工程中，建议为每套位移测量系统建立一份建模记录，至少包含：传感器型号与编号、校准日期、校准点与正反行程数据、拟合系数、非线性/迟滞/重复性、动态时间常数或固有频率、环境条件、合成不确定度及扩展因子。这份记录既是补偿算法的输入，也是后续计量验证和溯源的基础。