3. 相机标定基础

在多相机大视野拼接与尺寸测量中，标定是整条测量链的“地基”。拼接需要知道各相机之间的空间关系，尺寸测量需要把像素距离换算成毫米，这两件事都依赖同一组参数：内参、外参和畸变系数。本节从成像模型出发，把参数含义、标定流程和标定板选择串成一条可执行的线索。

一、针孔模型：像素坐标与三维点的桥梁

针孔模型把相机简化为一个小孔成像系统。设世界坐标系下一点 P_w = (X, Y, Z)，先经外参变换到相机坐标系：

P_c = R · P_w + t
R 为 3×3 旋转矩阵，t 为 3×1 平移向量

再经内参投影到像素平面。若相机坐标系下点为 (X_c, Y_c, Z_c)，归一化坐标为 x = X_c/Z_c，y = Y_c/Z_c，则像素坐标：

u = fx · x + cx
v = fy · y + cy
内参矩阵 K = [ fx  0  cx
               0  fy  cy
               0   0   1 ]

其中 fx、fy 是以像素为单位的等效焦距，cx、cy 是主点（光轴与像面的交点）像素坐标。内参只与相机和镜头自身有关，与相机摆放位置无关；外参 R、t 描述相机相对世界坐标系的位置和姿态，会随相机移动而改变。多相机拼接时，正是通过各相机外参把不同视角统一到同一世界坐标系。

二、畸变模型：为什么直线会变弯

真实镜头不满足理想针孔假设，主要引入径向畸变和切向畸变。径向畸变使点沿径向偏移，常用 k1、k2、k3 描述；切向畸变由镜头与像面不平行引起，用 p1、p2 描述。以归一化坐标 (x, y) 为例，r² = x² + y²：

x_dist = x(1 + k1r² + k2r⁴ + k3r⁶) + 2p1xy + p2(r² + 2x²)
y_dist = y(1 + k1r² + k2r⁴ + k3r⁶) + p1(r² + 2y²) + 2p2xy

普通工业镜头通常取 k1、k2、p1、p2 五项即可；广角或大视野镜头畸变明显，需加入 k3。畸变系数与内参一起在标定中求解。测量前必须先去畸变，否则边缘区域的像素误差会直接放大为毫米级尺寸偏差。

三、张正友标定法：从平面棋盘格到参数

张正友标定法使用一块平面棋盘格，在多个不同姿态下拍摄。由于棋盘格平面可设 Z = 0，单应矩阵 H 把棋盘格坐标映射到像素坐标，而 H 与内参、外参存在约束关系。利用旋转矩阵的正交性，可从多张图像的单应矩阵中解出内参初值，再通过最大似然估计优化全部参数。

实际操作中，以 OpenCV 为例，典型流程如下：

# 1. 定义棋盘格内角点数量，例如 9×6
pattern_size = (9, 6)
# 2. 生成世界坐标：每个格子边长 10 mm
objp = np.zeros((9*6, 3), np.float32)
objp[:, :2] = np.mgrid[0:9, 0:6].T.reshape(-1, 2) * 10.0
# 3. 对每张图 findChessboardCorners + cornerSubPix
# 4. calibrateCamera(objpoints, imgpoints, img_size, None, None)
# 返回 ret, K, dist, rvecs, tvecs

标定完成后重点看两个量：一是重投影误差 ret，即所有角点由三维点投影回图像后与检测角点的平均像素偏差，一般要求小于 0.3 像素，大视野测量建议控制在 0.1~0.2 像素；二是逐张图像的误差分布，若某张明显偏大，说明该姿态拍摄质量差或角点误检，应剔除后重新标定。

四、标定板选择：精度与视野的匹配

标定板不是越大越好，也不是格子越密越好，关键是让棋盘格在图像中占据足够面积，同时角点清晰可检。常用选择依据如下：

五、标定结果如何用于拼接与测量

得到各相机的 K、dist 后，先对图像去畸变，再用外参把各相机坐标系统一到同一世界坐标系。多相机拼接时，若相机之间没有共同视野，可借助同一块标定板分别标定各相机到世界坐标系的外参，从而建立相机间变换。尺寸测量时，用标定得到的像素当量（mm/pixel）或直接通过投影关系反算实际距离。需要强调的是，标定完成后相机、镜头、焦距、光圈一旦变动，内参和外参都可能失效，必须重新标定。

把本节内容压缩成一句话：针孔模型给出“三维点如何变成像素”的数学关系，畸变模型修正镜头带来的非线性偏移，内参描述相机自身、外参描述相机位姿，张正友标定法用多姿态棋盘格同时求解这些参数，而标定板的选择与拍摄质量决定了参数是否可靠。后续拼接与测量中的所有坐标换算，都建立在这组参数之上。