4. 公差与误差的数学描述

在精密机构误差预算中，公差不是一句“加工精度要高”就能说清的要求，它必须被写成可计算、可检验、可传递的数学表达。尺寸公差、几何公差、配合公差、统计公差与误差分布，分别回答五个不同问题：单个尺寸允许变多少、形状和位置允许偏多少、两个零件装配后间隙或过盈是多少、多个误差叠加后总体波动多大、以及这些波动在概率上如何分布。只有把这五类表达统一到同一套符号和参照系中，后续的误差预算和公差分配才有共同语言。

一、尺寸公差：从基本尺寸到上下偏差

尺寸公差描述的是线性尺寸的允许变动范围。设基本尺寸为 L，上偏差为 ES（孔）或 es（轴），下偏差为 EI 或 ei，则最大极限尺寸 L_max = L + 上偏差，最小极限尺寸 L_min = L + 下偏差，公差 T = L_max − L_min = 上偏差 − 下偏差。例如某定位孔标注为 Φ20^+0.021₀，则 L_max = 20.021 mm，L_min = 20.000 mm，T = 0.021 mm。这里必须明确：偏差带正负号，公差永远为正；上偏差可以小于零，下偏差也可以大于零，但上偏差必须大于下偏差。

尺寸公差只约束“尺寸本身”，不约束形状。一个轴即使每个截面的直径都在公差带内，也可能弯成弓形。因此尺寸公差不能替代几何公差。

二、几何公差：形状、方向、位置与跳动

几何公差（GD&T）用公差框格表达，基本形式为“特征符号 | 公差值 | 基准”。它约束的是要素相对于理想形状或基准的偏离量。常见类别包括：形状公差（直线度、平面度、圆度、圆柱度）、方向公差（平行度、垂直度、倾斜度）、位置公差（位置度、同轴度、对称度）和跳动公差（圆跳动、全跳动）。

以位置度为例，标注为 ⌖ Φ0.05 Ⓐ Ⓑ Ⓒ，表示被测孔轴线必须位于以理论正确位置为中心、直径 0.05 mm 的圆柱公差带内。若孔实际轴线偏离理论位置 dx、dy，则位置度误差近似为 2√(dx² + dy²)。几何公差的关键在于基准体系：没有基准，方向、位置和跳动公差就无法定义。基准顺序 A→B→C 表示先由 A 建立第一基准面，再由 B 约束旋转，最后由 C 约束剩余平移，顺序不同，约束结果不同。

三、配合公差：孔轴之间的间隙与过盈

配合公差描述孔与轴装配后的松紧关系。设孔的实际尺寸为 D，轴的实际尺寸为 d，则间隙（或过盈）X = D − d。当 X > 0 为间隙，X < 0 为过盈。最大间隙 X_max = D_max − d_min，最小间隙 X_min = D_min − d_max。配合公差 T_f = X_max − X_min = T_孔 + T_轴。这说明配合公差是孔公差与轴公差之和，不能小于两者之和。

例如 Φ20H7/g6：孔 Φ20^+0.021₀，轴 Φ20^−0.007_−0.020。则 X_max = 20.021 − 19.980 = 0.041 mm，X_min = 20.000 − 19.993 = 0.007 mm，配合公差 = 0.034 mm = 0.021 + 0.013。该配合始终为间隙配合，最小间隙 7 μm 保证可装配，最大间隙 41 μm 决定定位精度上限。

四、统计公差与误差分布：从极值到概率

极值法（WC）假设所有误差同时取最不利值，总公差 T_WC = ΣT_i。它安全但保守，当尺寸链环节较多时会导致公差过严、成本过高。统计法（RSS）假设各误差相互独立且服从正态分布，则总标准差 σ_总 = √(Σσ_i²)，总公差 T_RSS = √(ΣT_i²)（当各环节均取 ±3σ 时）。

误差分布的基本表达包括：正态分布 N(μ, σ²)，均值 μ 决定中心位置，标准差 σ 决定分散程度；均匀分布用于只知道上下限、不知倾向的场合，标准差 σ = T/(2√3)；三角分布用于两个均匀分布叠加，σ = T/(2√6)。实际加工中，尺寸常呈正态分布，但可能因刀具磨损产生均值漂移，此时需引入修正系数 k，用 T_RSS = k√(ΣT_i²) 进行修正，k 通常取 1.2～1.5。

五、五类表达的工程衔接

这五类表达不是孤立的。尺寸公差和几何公差共同定义单个零件的合格边界；配合公差把两个零件的边界合成为装配边界；统计公差把多个装配边界合成为总体波动；误差分布则决定统计公差用哪种概率模型、取多大的置信区间。实际误差预算中，通常先按尺寸链列出各环节的公差 T_i，判断每个环节的分布类型，再选择 WC 或 RSS 合成，最后用配合公差校核装配间隙是否满足功能要求。

把上述表达写成统一格式，是后续误差预算表能够自动计算的前提。建议每个环节至少记录：基本尺寸、上下偏差、公差值、分布类型、标准差或等效标准差、是否主导误差源。这样，尺寸公差、几何公差、配合公差、统计公差与误差分布就在同一张表中完成了数学统一。