2. 伺服电机与负载建模

伺服系统的性能上限，首先由“电机 + 负载”这一被控对象的数学模型决定。整定电流环、速度环、位置环之前，必须先把电机本体、传动机构和负载统一到同一个等效轴上。本节围绕直流电机与永磁同步电机的数学模型、负载转矩与转动惯量的折算方法，以及机电时间常数的物理意义展开，目标是让读者能够写出可用于控制器设计的等效模型。

一、直流电机的数学模型

直流电机是最直观的建模入口。以电枢电压 u 为输入、转子角速度 ω 为输出，电枢回路满足基尔霍夫电压定律：

u = R·i + L·di/dt + Ke·ω
Te = Kt·i
Te - TL = J·dω/dt + B·ω

其中 R 为电枢电阻，L 为电枢电感，Ke 为反电动势常数，Kt 为转矩常数，J 为折算到电机轴的总转动惯量，B 为粘性阻尼系数，TL 为折算负载转矩。对上述方程做拉普拉斯变换并消去电流，可得从电压到转速的传递函数：

ω(s)     Kt
──── = ─────────────────────────
u(s)   (L·s+R)(J·s+B) + Kt·Ke

由于电枢电感 L 通常远小于机械时间尺度，可忽略电气动态，得到一阶近似：

ω(s)        Km
──── = ─────────────
u(s)   Tm·s + 1

其中 Km = Kt/(R·B + Kt·Ke) 为直流增益，Tm = R·J/(R·B + Kt·Ke) 为机电时间常数。这一简化模型是理解伺服速度环整定的基础。

二、永磁同步电机的数学模型

永磁同步电机（PMSM）在 dq 旋转坐标系下的电压方程与转矩方程为：

ud = R·id + Ld·did/dt - ωe·Lq·iq
uq = R·iq + Lq·diq/dt + ωe·(Ld·id + ψf)
Te = 1.5·p·[ψf·iq + (Ld - Lq)·id·iq]

其中 p 为极对数，ωe = p·ωm 为电角速度，ψf 为永磁体磁链，Ld、Lq 为 dq 轴电感。对于表贴式电机 Ld ≈ Lq，转矩仅由 q 轴电流决定，即 Te = 1.5·p·ψf·iq，此时 PMSM 在转矩控制层面与直流电机高度相似，区别在于电流环必须在 dq 坐标系中解耦控制。机械方程与直流电机一致：Te - TL = J·dωm/dt + B·ωm。

工程上常把 PMSM 的转矩常数记为 Kt = 1.5·p·ψf，于是 Te = Kt·iq，与直流电机形式统一。这样，后续的惯量折算与时间常数计算对两类电机都适用。

三、负载转矩与转动惯量的折算

实际伺服轴往往经过减速机、丝杠、同步带等传动环节，负载的转速与电机不同，必须折算到电机轴。折算遵循“功率守恒”原则：传动效率为 η、减速比为 i = n_motor/n_load 时，负载转矩折算到电机轴为 TL' = TL/(i·η)，负载惯量折算为 JL' = JL/i²。对于丝杠传动，若导程为 Ph（m/rev），负载质量 m 折算到电机轴的惯量为 J = m·(Ph/2π)²。

总折算惯量 J_total = J_motor + J_coupling + Σ(J_load/i²)。惯量匹配是伺服选型的核心指标，通常要求负载惯量与电机惯量之比 R_J = J_load'/J_motor 控制在 5 以内，高动态场合建议小于 3。比值过大时，速度环增益受限，系统易振荡，定位时间显著拉长。

四、机电时间常数的物理意义

机电时间常数 Tm 描述电机在额定电压下从静止加速到空载转速 63.2% 所需的时间，它由机械惯量与电磁阻尼共同决定。对直流电机，Tm = R·J/(Kt·Ke)（忽略粘性阻尼时）。Tm 越大，系统响应越慢，速度环带宽越低。整定速度环时，PI 控制器的积分时间通常取 Ti ≈ Tm，比例增益则受电流环带宽与惯量比约束。

下面这张图把“电机电磁模型—传动折算—等效单轴模型—时间常数”串成一条信号链，帮助读者看清各参数在模型中的位置与流向。

五、建模示例与参数判断

假设一台表贴式 PMSM：R = 0.5 Ω，Kt = Ke = 0.1 N·m/A（国际单位下数值相等），电机惯量 J_m = 0.5×10⁻⁴ kg·m²，经减速比 i = 10、效率 η = 0.9 驱动负载，负载惯量 J_L = 2×10⁻⁴ kg·m²，负载转矩 TL = 1 N·m。折算后：J_L' = 2×10⁻⁴/100 = 2×10⁻⁶ kg·m²，TL' = 1/(10×0.9) ≈ 0.111 N·m，总惯量 J_total ≈ 5.2×10⁻⁵ kg·m²。忽略粘性阻尼，Tm = R·J_total/(Kt·Ke) = 0.5×5.2×10⁻⁵/0.01 ≈ 2.6 ms。惯量比 R_J = 2×10⁻⁶/5×10⁻⁵ = 0.04，远小于 1，说明电机惯量占主导，系统容易获得高带宽，但负载扰动对转速影响相对明显，需要速度环积分作用抑制。

若把减速比改为 i = 2，则 J_L' = 5×10⁻⁵ kg·m²，J_total ≈ 1.0×10⁻⁴ kg·m²，Tm ≈ 5 ms，惯量比升至 1.0。此时速度环增益需相应下调，否则阶跃响应会出现明显超调。可见减速比不仅改变转矩放大倍数，还以平方关系改变折算惯量，是影响机电时间常数最敏感的机械参数之一。

六、从模型到整定的衔接

得到 Km 与 Tm 后，速度环可先按一阶对象整定：比例增益 Kp ≈ J_total/(2·Kt·Tc)，积分时间 Ti ≈ Tm，其中 Tc 为期望闭环时间常数。电流环带宽通常取速度环的 5～10 倍，以保证内外环解耦。若实际响应与模型预测偏差较大，应优先复核惯量折算、减速比、效率以及转矩常数是否与铭牌一致，而不是盲目加大增益。

本节建立的等效模型是后续电流环、速度环、位置环整定的共同基础。把电机电磁参数、传动折算参数和负载参数统一到电机轴后，伺服系统的动态行为就可以用少数几个集中参数描述，整定工作也从“试凑”转变为“有依据的参数计算与验证”。