风险模型构建与应用 - 第2节 📌 概率论与数理统计回顾 foundation

📌 概率论与数理统计回顾 foundation

概率论 是风险模型的数学基石，用于量化不确定性；数理统计 则从数据中推断总体特征。在信用评分、市场风险、操作风险中无处不在。

样本空间与事件 —— 所有可能结果的集合，以及我们关心的子集。
概率公理：非负性、规范性、可加性。
条件概率与独立性：P(A|B) = P(AB)/P(B)；独立 ⇔ P(AB)=P(A)P(B)。
贝叶斯定理 —— 风险模型更新的核心：P(θ|X) ∝ P(X|θ)P(θ)。
大数定律 & 中心极限定理：样本均值趋近期望；大量独立变量之和近似正态。

💡 风险建模金句： “所有模型都是错误的，但有些是有用的。” —— George Box

🎲 随机变量与分布离散 & 连续

随机变量 将样本空间映射到实数。分为离散型（如违约计数）和连续型（如损失金额）。

🎯 离散 · 二项分布

📈 连续 · 正态分布

常用分布表 (风险建模常见)

分布名称	类型	参数	风险应用
伯努利	离散	p	违约/非违约
二项分布	离散	n, p	违约计数
泊松分布	离散	λ	操作风险损失频率
正态分布	连续	μ, σ	市场风险因子
对数正态	连续	μ, σ	资产价格/损失强度
Beta分布	连续	α, β	违约率先验

📐 期望与方差集中趋势 & 离散度

期望 E[X] 是随机变量的加权平均，代表“长期平均”。方差 Var(X) = E[(X-μ)²] 衡量波动性。风险建模中，期望损失(EL)与未预期损失(UL)直接源于此。

📌 离散型

E[X] = Σ xᵢ·pᵢ
Var(X) = Σ (xᵢ-μ)²·pᵢ

📌 连续型

E[X] = ∫ x·f(x) dx
Var(X) = ∫ (x-μ)²·f(x) dx

# 风险量化示例 (Python伪代码)
# 期望损失 EL = E[L] = PD × LGD × EAD
PD = 0.02   # 违约概率
LGD = 0.45  # 违约损失率
EAD = 100_000 # 风险敞口
EL = PD * LGD * EAD
print(f"期望损失 = {EL:.2f} 元")
# 方差反映损失波动
# 假设违约服从伯努利，损失方差 = PD*(1-PD)*(LGD*EAD)**2
Var_loss = PD * (1-PD) * (LGD*EAD)**2
print(f"损失方差 = {Var_loss:.2f}")

🔗 协方差与相关系数相依性度量

协方差 Cov(X,Y)=E[(X-μₓ)(Y-μᵧ)] 描述两个变量同向变动趋势。相关系数 ρ = Cov/(σₓσᵧ) 标准化到[-1,1]，是风险组合分散化的核心。

📊 协方差 → 相关系数 (风险组合分散)

风险组合方差公式 (两个资产)：

σ²(portfolio) = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2·w₁·w₂·Cov(R₁,R₂)
相关系数越低，分散化效果越强。

🧮 记忆点： 协方差受尺度影响，相关系数无量纲，更适合比较相关性强度。

📋 核心公式一览

概念	定义式	风险含义
期望 E[X]	Σ x·p(x) 或 ∫ x·f(x)dx	预期损失 (EL)
方差 Var(X)	E[(X-μ)²]	损失波动 / 未预期损失 (UL)
标准差 σ	√Var(X)	风险度量 (Volatility)
协方差 Cov(X,Y)	E[(X-μₓ)(Y-μᵧ)]	资产同向变动
相关系数 ρ	Cov/(σₓσᵧ)	分散化效果

📊 风险建模基础 · 概率统计回顾