数学基础（下）：线性代数核心、微积分基础与时间序列分析

说实话，很多刚入行的朋友问我：「量化研究到底要学多深的数学？」我的回答一直是——你不需要成为数学家，但你必须理解数学在说什么。这一章我们接着聊数学基础的下半部分。线性代数、微积分、时间序列，这三样东西在量化里几乎天天见。

3.1 线性代数核心：从矩阵到分解

线性代数在量化里到底干嘛用？我个人的理解是——它帮我们把一堆乱七八糟的数据整理成结构化的东西。你想想看，几百只股票的日收益率，不就是一个大矩阵吗？

3.1.1 矩阵运算——量化里的基本操作

矩阵乘法、转置、求逆，这些是基本功。但我要说的是，别小看这些操作。我在做多因子模型时，每天都要算协方差矩阵。一个 N×N 的协方差矩阵，如果 N=500，那就是 25 万个元素。手算？不可能。但用 NumPy 一行代码搞定。

import numpy as np

# 假设 returns 是 (T, N) 的收益率矩阵
cov_matrix = np.cov(returns, rowvar=False)

# 投资组合方差：w^T * Σ * w
portfolio_var = w.T @ cov_matrix @ w

3.1.2 特征值分解——看懂数据的「骨架」

特征值分解，说白了就是找到一个矩阵的「主方向」。一个方阵 A，如果存在 A·v = λ·v，那么 v 就是特征向量，λ 就是特征值。

在量化里，特征值分解最常见的应用就是主成分分析（PCA）。我记得有一次做风格因子分析，50 多个候选因子，相关性高得吓人。用 PCA 一跑，前 5 个主成分就解释了 80% 的方差。剩下的？全是噪音。

from numpy.linalg import eig

# 计算协方差矩阵的特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = eig(cov_matrix)

# 按特征值降序排列
idx = np.argsort(eigenvalues)[::-1]
eigenvalues = eigenvalues[idx]
eigenvectors = eigenvectors[:, idx]

# 前 k 个主成分的方差解释率
explained_ratio = eigenvalues[:k] / eigenvalues.sum()

3.1.3 奇异值分解（SVD）——更通用的分解利器

SVD 是特征值分解的「升级版」。任何矩阵都能做 SVD，不要求方阵。公式是 A = U·Σ·V^T。其中 U 和 V 是正交矩阵，Σ 是对角矩阵，对角线上的值叫奇异值。

SVD 在量化里的用处太多了。降维、去噪、推荐系统（想想看，这不就是找相似股票吗？）。我个人最喜欢用它来做矩阵补全——比如有些股票某几天停牌，收益率缺失，SVD 可以帮你把缺失值补上。

from numpy.linalg import svd

U, S, Vt = svd(returns_matrix, full_matrices=False)

# 只保留前 k 个奇异值，实现降维去噪
k = 10
S_k = np.diag(S[:k])
U_k = U[:, :k]
Vt_k = Vt[:k, :]

# 重构去噪后的矩阵
returns_denoised = U_k @ S_k @ Vt_k

分解方法	适用矩阵	量化应用
特征值分解	方阵（对称矩阵更佳）	PCA、协方差矩阵分析
奇异值分解	任意矩阵	降维、去噪、矩阵补全

3.2 微积分基础：梯度与优化

微积分在量化里最核心的应用就是优化。说白了，我们做的大部分事情都可以归结为：找一个目标函数，然后让它最小化或最大化。

3.2.1 梯度——函数变化的「指南针」

梯度是一个向量，指向函数增长最快的方向。在优化里，我们沿着梯度的反方向走，就能找到函数的极小值。这就是梯度下降法的核心思想。

你想想看，我们做因子权重优化时，目标函数是夏普比率。梯度告诉我们应该往哪个方向调整权重，夏普比率才能提升。嗯，就是这么回事。

def gradient_descent(grad_func, init_w, lr=0.01, n_iter=100):
    w = init_w.copy()
    for i in range(n_iter):
        grad = grad_func(w)
        w = w - lr * grad  # 沿梯度反方向更新
    return w

3.2.2 优化——找到最好的那个参数

量化里的优化问题，大部分是凸优化。凸优化有个好性质：局部最优就是全局最优。你不用担心掉进坑里出不来。

但现实往往不完美。我记得有一次做期权隐含波动率曲面拟合，目标函数非凸，梯度下降跑了好几次，每次结果都不一样。后来换了模拟退火，才找到比较稳定的解。

常用的优化方法对比：

方法	适用场景	优点	缺点
梯度下降	凸优化、大规模	简单、可扩展	可能陷入鞍点
牛顿法	小规模、二阶可导	收敛快	计算 Hessian 矩阵代价高
拟牛顿法（BFGS）	中等规模	兼顾速度和稳定性	内存占用随维度增长

3.3 时间序列分析基础：平稳性与自相关

时间序列是量化研究的命根子。股票价格、收益率、波动率，全是时间序列。如果你不懂时间序列，量化研究基本做不了。

3.3.1 平稳性——时间序列的「定海神针」

平稳性是什么意思？简单说，就是一个时间序列的统计性质不随时间变化。均值不变、方差不变、自相关结构不变。

为什么要平稳？因为大多数时间序列模型（ARIMA、GARCH 等）都假设数据是平稳的。如果你拿非平稳数据直接建模，结果就是伪回归——看起来相关，其实全是假的。

我记得有一次帮同事看一个策略，回测曲线漂亮得不行。我一看，用的是价格序列直接回归。我说：「兄弟，价格是非平稳的，你这 R² 再高也是假的。」后来改成收益率序列，策略直接失效了。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# ADF 检验
result = adfuller(price_series)
print(f'ADF Statistic: {result[0]}')
print(f'p-value: {result[1]}')

# p-value > 0.05 表示非平稳，需要差分
if result[1] > 0.05:
    returns_series = price_series.pct_change().dropna()

3.3.2 自相关——过去和现在的「悄悄话」

自相关衡量的是时间序列和它自己滞后版本的相关性。说白了，就是今天的收益率和昨天的收益率有没有关系。

在量化里，自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是两大神器。ACF 看的是总相关性，PACF 看的是剔除中间变量后的「净」相关性。

我一般用 ACF 和 PACF 图来判断 ARIMA 模型的阶数。ACF 拖尾、PACF 截尾 → AR 模型；ACF 截尾、PACF 拖尾 → MA 模型；都拖尾 → ARMA 模型。

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
import matplotlib.pyplot as plt

# 画 ACF 和 PACF 图
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 6))
plot_acf(returns_series, lags=20, ax=ax1)
plot_pacf(returns_series, lags=20, ax=ax2)
plt.show()