2. PSI 数学原理：PSI 计算公式详解

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个分布之间差异的标准化度量。在风控与压力测试场景中，它用于量化模型评分或关键风险指标在 期望分布（开发/基准样本） 与 实际分布（当前/监控样本） 之间的偏移程度。PSI 值越小，分布越稳定；值越大，模型或风险特征发生显著漂移的可能性越高。

2.1 PSI 计算公式

PSI 的计算基于信息论中的 Kullback-Leibler 散度 对称化形式。其核心公式如下：

PSI = Σ (实际占比_i - 期望占比_i) * ln(实际占比_i / 期望占比_i)

其中：

• 实际占比_i：当前监控样本在第 i 个分箱中的样本比例。
• 期望占比_i：基准/开发样本在第 i 个分箱中的样本比例。
• ln：自然对数，用于放大比例差异的非线性效应。
• Σ：对所有分箱（i = 1 到 N）求和。

2.2 分箱方法详解

分箱是 PSI 计算的前置步骤，直接影响指标的敏感性与稳定性。选择不当的分箱方法可能导致 PSI 值失真或无法有效捕捉分布漂移。三种主流分箱方法对比如下：

2.3 对数变换的意义

PSI 公式中的自然对数变换（ln）并非随意选择，它具有深刻的数学与统计意义：

• 非线性放大差异： 当实际占比与期望占比差异较小时，ln 值接近 0；当差异增大时，ln 值呈非线性增长，使 PSI 对中等程度的漂移更为敏感。
• 对称性处理： 对数变换使得 PSI 对“实际占比高于期望”和“实际占比低于期望”两种方向的偏移具有对称的惩罚力度，避免单向偏差。
• 信息论基础： ln 变换源自信息熵与 KL 散度，使 PSI 具有可加性与可解释性——PSI 值可以理解为两个分布之间的“信息损失”或“不确定性增量”。
• 标准化尺度： 经过对数变换后，PSI 值通常落在 0 到 1 之间（极端情况可能超过 1），便于设定统一的预警阈值。

2.4 PSI 计算流程与分布漂移可视化

下图展示了从原始数据到 PSI 值的完整计算流程，以及分布漂移的直观对比：

2.5 分箱方法选择决策树

在实际项目中，选择合适的分箱方法可参考以下决策逻辑：

2.6 PSI 计算代码示例（Python）

以下代码展示了使用等频分箱计算 PSI 的完整实现：

import numpy as np
import pandas as pd

def calculate_psi(expected, actual, bins=10):
    """
    计算群体稳定性指标（PSI）
    
    参数:
        expected: array-like, 期望分布（基准样本）
        actual: array-like, 实际分布（当前监控样本）
        bins: int, 分箱数量（默认10箱）
    
    返回:
        psi_value: float, PSI值
        bin_details: DataFrame, 各分箱详细占比
    """
    # 基于期望分布确定分位数边界
    percentiles = np.linspace(0, 100, bins + 1)
    bin_edges = np.percentile(expected, percentiles)
    
    # 处理边界重复（当数据中存在大量相同值时）
    bin_edges = np.unique(bin_edges)
    
    # 对期望分布分箱
    expected_counts, _ = np.histogram(expected, bins=bin_edges)
    expected_pct = expected_counts / len(expected)
    
    # 对实际分布分箱（使用相同的边界）
    actual_counts, _ = np.histogram(actual, bins=bin_edges)
    actual_pct = actual_counts / len(actual)
    
    # 平滑处理：避免零占比导致除零错误
    epsilon = 1e-6
    expected_pct = np.clip(expected_pct, epsilon, 1 - epsilon)
    actual_pct = np.clip(actual_pct, epsilon, 1 - epsilon)
    
    # 计算每个分箱的PSI贡献
    psi_components = (actual_pct - expected_pct) * np.log(actual_pct / expected_pct)
    psi_value = np.sum(psi_components)
    
    # 构建结果DataFrame
    bin_details = pd.DataFrame({
        'bin_start': bin_edges[:-1],
        'bin_end': bin_edges[1:],
        'expected_pct': expected_pct,
        'actual_pct': actual_pct,
        'psi_component': psi_components
    })
    
    return psi_value, bin_details

# 示例用法
np.random.seed(42)
expected_scores = np.random.normal(600, 100, 10000)
actual_scores = np.random.normal(620, 110, 10000)  # 模拟分布偏移

psi, details = calculate_psi(expected_scores, actual_scores, bins=10)
print(f"PSI值: {psi:.4f}")
print(details.head())