2. PSI 计算原理与公式推导

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个分布之间差异的标准化度量。在风控特征监控中，PSI 用于量化特征在 预期分布（如建模样本）与 实际分布（如线上实时数据）之间的偏移程度。其核心思想是通过逐箱比较占比差异，并利用对数变换放大尾部偏差。

2.1 核心公式与逐项拆解

PSI 的标准计算公式如下：

PSI = Σ (实际占比_i - 预期占比_i) * ln(实际占比_i / 预期占比_i)

其中，i 表示第 i 个分箱（bin），实际占比_i 为当前监控周期内落在该箱的样本比例，预期占比_i 为基准周期（如模型训练集）在该箱的样本比例。公式由两部分构成：

• 差异项 (实际占比 - 预期占比)：衡量两个分布在该箱上的绝对偏差，方向性决定正负贡献。
• 权重项 ln(实际占比 / 预期占比)：对比例差异进行非线性放大。当实际占比远小于预期占比时，对数负值增大；当实际占比远大于预期占比时，对数正值增大。这种设计使得 PSI 对尾部箱的偏移更为敏感。

2.2 分箱策略：等频与等距

分箱是 PSI 计算的前提。不同的分箱策略会直接影响 PSI 的敏感度和稳定性。主流策略包括等频分箱和等距分箱。

2.3 平滑处理与零值规避

在 PSI 计算中，ln(实际占比 / 预期占比) 要求分母（预期占比）和分子（实际占比）均不能为零。当某个箱的样本数为 0 时，占比为 0%，直接计算会导致除零错误或负无穷大。平滑处理是解决这一问题的标准方法。

2.3.1 常见平滑方法

2.3.2 加常数平滑的工程实现

以下代码展示了使用加常数平滑（ε = 0.5）计算 PSI 的 Python 实现：

import numpy as np

def calculate_psi(expected_counts, actual_counts, epsilon=0.5):
    """
    计算 PSI，使用加常数平滑处理零值。
    
    Args:
        expected_counts: 预期分布各箱样本数 (list or array)
        actual_counts:   实际分布各箱样本数 (list or array)
        epsilon:         平滑常数，默认 0.5
    
    Returns:
        psi: 群体稳定性指标值
    """
    # 将计数转换为 numpy 数组
    expected = np.array(expected_counts, dtype=float)
    actual   = np.array(actual_counts, dtype=float)
    
    # 加常数平滑
    expected_smooth = expected + epsilon
    actual_smooth   = actual + epsilon
    
    # 计算占比
    expected_pct = expected_smooth / np.sum(expected_smooth)
    actual_pct   = actual_smooth / np.sum(actual_smooth)
    
    # 计算 PSI
    psi = np.sum((actual_pct - expected_pct) * np.log(actual_pct / expected_pct))
    
    return psi

# 示例：10 个分箱的计数
expected = [100, 200, 150, 180, 220, 190, 160, 140, 110, 50]
actual   = [95,  210, 145, 190, 230, 180, 155, 135, 115, 45]

psi_value = calculate_psi(expected, actual)
print(f"PSI = {psi_value:.4f}")  # 输出: PSI = 0.0032

2.4 公式推导的数学直觉

PSI 公式可以看作 散度度量 的一种离散形式。从信息论角度，它衡量的是两个概率分布之间的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）的对称化变体。具体推导直觉如下：

1. KL 散度基础： KL(P||Q) = Σ P(i) * ln(P(i)/Q(i))，衡量用 Q 近似 P 时的信息损失。
2. PSI 的对称化： 标准 PSI 公式 = Σ (P(i) - Q(i)) * ln(P(i)/Q(i)) = Σ P(i)*ln(P(i)/Q(i)) - Σ Q(i)*ln(P(i)/Q(i)) = KL(P||Q) + KL(Q||P)。
3. 物理意义： PSI 同时考虑了从实际分布到预期分布的 KL 散度，以及从预期分布到实际分布的 KL 散度，因此是一个对称的、非负的分布差异度量。