3. PSI 数学原理：公式推导、期望分布与实际分布、分箱策略
群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个分布之间差异的标准化度量。在金融风控中，它被广泛用于监控模型评分或关键特征在时间维度上的分布偏移。理解 PSI 的数学原理，是正确应用该指标的前提。
3.1 PSI 公式推导
PSI 的核心思想来源于信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler Divergence），但做了对称化处理。其计算公式如下：
PSI = Σ (P_i - Q_i) * ln(P_i / Q_i)其中：
- P_i：第 i 个分箱中，实际分布（Actual Distribution）的样本占比。
- Q_i：第 i 个分箱中，期望分布（Expected Distribution）的样本占比。
- ln：自然对数。
- Σ：对所有分箱求和。
从公式可以看出，PSI 同时考虑了 比例差异（P_i - Q_i）和 比例变化方向（ln(P_i / Q_i)）。当两个分布完全一致时，每个分箱的 P_i = Q_i，PSI = 0。差异越大，PSI 值越高。
经验阈值：
- PSI < 0.1：分布稳定，无需干预。
- 0.1 ≤ PSI < 0.25：轻度偏移，需进一步监控。
- PSI ≥ 0.25：显著偏移，必须触发模型复审或重建。
3.2 期望分布与实际分布
在 PSI 计算中，两个核心分布的定义决定了监控的方向：
| 分布类型 | 定义 | 典型来源 | 符号 |
|---|---|---|---|
| 期望分布 | 模型开发时建立的基准分布，代表“正常”状态 | 训练集、验证集、模型上线初期的样本 | Q_i |
| 实际分布 | 当前监控周期内观测到的实时分布 | 月度/季度新进件样本、线上实时评分 | P_i |
选择期望分布时需注意：如果训练集与线上客群本身存在偏差，应使用模型上线后首月或首季度的稳定样本作为基准，而非直接使用训练集。
常见误区： 期望分布并非一成不变。当业务模式发生重大调整（如获客渠道变更、产品利率调整）时，应重新校准期望分布，否则 PSI 会持续报警，失去监控意义。
3.3 分箱策略
PSI 的计算依赖于对连续变量进行分箱。分箱方式直接影响 PSI 值的敏感度和稳定性。以下是三种主流策略的对比：
| 策略 | 方法 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 等距分箱 | 将变量取值范围等分为 k 个区间 | 实现简单，区间边界固定 | 数据分布不均时，部分箱可能为空或样本极少 | 变量分布均匀，或需要固定刻度对比 |
| 等频分箱 | 使每个箱包含大致相等的样本数 | 避免空箱，对分布尾部敏感 | 区间边界随分布变化，跨期可比性略差 | 评分卡分数、概率输出等非均匀分布 |
| 分位数分箱 | 按指定分位数（如十分位、二十分位）切分 | 边界稳定，适合长尾分布 | 分箱数固定，可能无法捕捉局部突变 | 收入、额度等偏态分布变量 |
3.4 分箱策略对比图
下图直观展示了三种分箱策略在相同数据分布下的切分效果：
3.5 PSI 计算完整流程
结合上述原理，PSI 的完整计算步骤可归纳为：
- 确定期望分布：选择模型开发集或上线稳定期样本作为基准。
- 选择分箱策略：根据变量分布特征，从等距、等频、分位数中选取一种。
- 划分分箱边界：基于期望分布确定各箱的上下界。
- 计算期望占比 Q_i：统计期望分布中落入各箱的样本比例。
- 计算实际占比 P_i：将实际分布样本按相同边界分箱，统计各箱比例。
- 代入公式：对每个分箱计算 (P_i - Q_i) * ln(P_i / Q_i)，求和得到 PSI。
工程实现提示： 当某个分箱的 P_i 或 Q_i 为 0 时，ln(P_i / Q_i) 无定义。实践中通常对空箱做平滑处理，例如将 0 替换为一个极小值（如 0.0001），或将该箱与相邻箱合并。
3.6 PSI 计算示例
假设某评分卡分数范围 300-900，采用等距分箱（5 箱），期望分布与实际分布如下：
| 分箱区间 | 期望占比 Q_i | 实际占比 P_i | P_i - Q_i | ln(P_i / Q_i) | 单项 PSI |
|---|---|---|---|---|---|
| 300-420 | 0.10 | 0.15 | 0.05 | 0.4055 | 0.0203 |
| 420-540 | 0.20 | 0.25 | 0.05 | 0.2231 | 0.0112 |
| 540-660 | 0.40 | 0.35 | -0.05 | -0.1335 | 0.0067 |
| 660-780 | 0.20 | 0.18 | -0.02 | -0.1054 | 0.0021 |
| 780-900 | 0.10 | 0.07 | -0.03 | -0.3567 | 0.0107 |
| PSI 合计 | 0.0510 | ||||
本例中 PSI = 0.051，小于 0.1，表明分布稳定，无需干预。
3.7 PSI 计算流程示意图
下图展示了从原始数据到 PSI 值的完整计算链路：
3.8 分箱策略选择决策树
在实际项目中，可按以下逻辑快速选择分箱策略：
- 变量分布是否均匀？
- 是 → 等距分箱（简单直观）
- 否 → 进入下一步判断
- 是否需要固定边界便于跨期对比？
- 是 → 分位数分箱（边界稳定）
- 否 → 等频分箱（对分布变化更敏感）
- 分箱数如何确定？
- 样本量 > 10,000：推荐 20 箱
- 样本量 1,000 ~ 10,000：推荐 10 箱
- 样本量 < 1,000：推荐 5 箱或使用 KS 检验替代
避坑提醒： 不要对分类变量（如职业、学历）使用等距或等频分箱。分类变量应直接按类别计算占比，或对低频类别进行合并后计算 PSI。