PSI 数学原理与计算公式

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是风控规则引擎中衡量模型或评分分布随时间变化的核心量化工具。本章从数学推导、分箱方法到实际计算步骤，完整拆解 PSI 的计算逻辑。

2.1 PSI 的数学推导

PSI 基于信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence） 对称化改造而来。KL 散度衡量两个概率分布 P 和 Q 之间的非对称差异：

KL(P || Q) = Σ p_i * ln(p_i / q_i)

由于 KL 散度不满足对称性（KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)），PSI 采用对称化形式：

PSI = Σ (p_i - q_i) * ln(p_i / q_i)

其中：

• p_i：当前评分分布在第 i 个分箱中的样本占比
• q_i：基准评分分布在第 i 个分箱中的样本占比
• ln(p_i / q_i)：自然对数下的分布差异权重

当 p_i 与 q_i 完全一致时，PSI = 0；差异越大，PSI 值越高。

2.2 分箱方法

分箱是 PSI 计算的前置步骤，直接影响指标敏感度。常用分箱方法对比如下：

2.3 实际计算步骤与示例

以下通过一个完整示例演示 PSI 的手工计算过程。假设某风控评分卡输出 0-1000 分，基准分布与当前分布如下：

步骤 1：确定分箱边界（等距分箱，每 200 分一箱）

步骤 2：计算各箱占比

q1 = 500/5000 = 0.1000    p1 = 400/5000 = 0.0800
q2 = 1200/5000 = 0.2400   p2 = 1000/5000 = 0.2000
q3 = 1800/5000 = 0.3600   p3 = 2000/5000 = 0.4000
q4 = 1000/5000 = 0.2000   p4 = 1200/5000 = 0.2400
q5 = 500/5000 = 0.1000    p5 = 400/5000 = 0.0800

步骤 3：逐箱计算 PSI 分量

箱1: (0.0800 - 0.1000) * ln(0.0800/0.1000) = (-0.0200) * (-0.2231) = 0.00446
箱2: (0.2000 - 0.2400) * ln(0.2000/0.2400) = (-0.0400) * (-0.1823) = 0.00729
箱3: (0.4000 - 0.3600) * ln(0.4000/0.3600) = (0.0400) * (0.1054) = 0.00422
箱4: (0.2400 - 0.2000) * ln(0.2400/0.2000) = (0.0400) * (0.1823) = 0.00729
箱5: (0.0800 - 0.1000) * ln(0.0800/0.1000) = (-0.0200) * (-0.2231) = 0.00446

步骤 4：求和得到 PSI

PSI = 0.00446 + 0.00729 + 0.00422 + 0.00729 + 0.00446 = 0.02772

最终 PSI ≈ 0.028。根据行业经验阈值：

• PSI < 0.10：分布稳定，无需告警
• 0.10 ≤ PSI < 0.25：轻度漂移，需关注
• PSI ≥ 0.25：显著漂移，触发告警

本例 PSI = 0.028，属于稳定范围。

import numpy as np

def calculate_psi(expected, actual, bins=10):
    # 等频分箱
    percentiles = np.percentile(expected, np.linspace(0, 100, bins + 1))
    expected_bins = np.histogram(expected, bins=percentiles)[0]
    actual_bins = np.histogram(actual, bins=percentiles)[0]
    
    # 占比 + 平滑
    q = expected_bins / expected_bins.sum() + 1e-6
    p = actual_bins / actual_bins.sum() + 1e-6
    
    # PSI 计算
    psi = np.sum((p - q) * np.log(p / q))
    return psi

2.4 PSI 计算流程可视化

下图完整展示了从原始评分到 PSI 输出的计算链路：

2.5 PSI 与 KL 散度的关系

下表总结了 PSI 与 KL 散度的核心差异，帮助理解 PSI 的设计优势：

2.6 分箱边界对齐的工程陷阱

实际生产中，基准分布与当前分布的分箱边界必须严格一致。下图展示了边界不对齐导致的 PSI 失真：