3. PSI 计算原理：数学公式、分箱方法与实际步骤

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量模型评分或催收触达策略在时间维度上分布偏移的核心量化工具。在催收场景中，PSI 用于监控每日/每周的客户风险评分分布是否与建模样本（基准分布）发生显著变化，从而触发策略阈值调整。本节从数学公式、分箱方法到计算步骤，完整拆解 PSI 的计算原理。

3.1 PSI 数学公式

PSI 基于信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）对称化变形，衡量两个概率分布之间的差异。其标准公式为：

PSI = Σ (P_actual_i - P_expected_i) × ln(P_actual_i / P_expected_i)

其中：
- i = 第 i 个分箱（共 n 个箱）
- P_expected_i = 基准分布（如建模样本）在第 i 箱中的占比
- P_actual_i = 实际分布（如当前催收触达批次）在第 i 箱中的占比
- ln = 自然对数

公式解读：

• 差值项 (P_actual_i - P_expected_i)：反映两个分布在该箱上的绝对偏移方向与幅度。
• 对数项 ln(P_actual_i / P_expected_i)：反映相对偏移的敏感度，当实际占比远大于或远小于预期占比时，该项会放大贡献。
• 求和：将所有箱的偏移贡献累加，得到全局稳定性指标。

3.2 分箱方法详解

PSI 的计算依赖将连续型评分或概率值离散化为有限个箱。分箱方式直接影响 PSI 的敏感度和稳定性。催收场景中常用的分箱方法有三种：

3.3 实际计算步骤详解

以下以等频分箱（10 箱）为例，展示从原始评分到 PSI 值的完整计算流程。

步骤 1：确定基准分布（Expected）

• 选取建模样本或历史稳定时段（如最近 3 个月）的客户评分数据。
• 按评分升序排序，等频划分为 10 箱，每箱包含 10% 的样本。
• 记录每箱的评分区间边界（如 [300, 450), [450, 520), ...）。
• 计算每箱的基准占比 P_expected_i = 该箱样本数 / 总样本数 = 0.10（等频分箱下每箱正好 10%）。

步骤 2：计算实际分布（Actual）

• 获取当前监控周期（如本周）的催收触达客户评分数据。
• 使用步骤 1 确定的评分区间边界，将当前数据映射到对应箱中。
• 计算每箱的实际占比 P_actual_i = 该箱当前样本数 / 当前总样本数。

步骤 3：逐箱计算偏移贡献

• 对每个箱 i，计算差值 (P_actual_i - P_expected_i)。
• 计算对数比 ln(P_actual_i / P_expected_i)。
• 将差值与对数比相乘，得到该箱的 PSI 贡献值。

步骤 4：求和得到 PSI

• 将所有箱的贡献值累加，即得最终 PSI。

# Python 伪代码示例：等频分箱 PSI 计算
import numpy as np
import pandas as pd

def calculate_psi_equalfreq(expected_scores, actual_scores, bins=10):
    # 步骤1：基于基准分布确定等频分箱边界
    percentiles = np.linspace(0, 100, bins + 1)
    bin_edges = np.percentile(expected_scores, percentiles)
    bin_edges[0] = -np.inf
    bin_edges[-1] = np.inf

    # 步骤2：将实际数据映射到箱中
    expected_bins = np.digitize(expected_scores, bin_edges[1:-1])
    actual_bins = np.digitize(actual_scores, bin_edges[1:-1])

    # 步骤3：计算每箱占比
    expected_counts = np.bincount(expected_bins, minlength=bins+1)[1:bins+1]
    actual_counts = np.bincount(actual_bins, minlength=bins+1)[1:bins+1]

    expected_pct = expected_counts / len(expected_scores)
    actual_pct = actual_counts / len(actual_scores)

    # 步骤4：计算 PSI（处理零占比情况）
    psi = 0
    for i in range(bins):
        if expected_pct[i] == 0:
            expected_pct[i] = 0.0001  # 极小值避免除零
        if actual_pct[i] == 0:
            actual_pct[i] = 0.0001
        psi += (actual_pct[i] - expected_pct[i]) * np.log(actual_pct[i] / expected_pct[i])

    return psi, bin_edges, expected_pct, actual_pct

3.4 PSI 计算流程可视化

下图展示了从原始评分数据到 PSI 输出的完整计算链路，包含基准分布构建、实际分布映射、逐箱贡献计算与最终判定。

3.5 计算示例：从数据到 PSI

假设某催收模型评分范围为 300~900 分，基准分布（等频 10 箱）与本周实际分布如下：