2. 因子漂移的数学定义：均值漂移、方差漂移、分布形态漂移

因子漂移（Factor Drift）是指量化因子在时间序列上的统计分布特征发生显著变化的现象。在量化风控中，准确识别漂移类型是设置有效告警阈值的前提。本章从数学定义出发，系统阐述三种核心漂移形态：均值漂移、方差漂移和分布形态漂移，并给出对应的检验方法。

2.1 均值漂移（Mean Shift）

均值漂移是最直观的漂移形式，指因子序列的期望值在某个时间点后发生结构性改变。数学上，若因子序列 \( X_t \) 在时间 \( t_0 \) 前后满足：

E[X_t] = μ₁,  t < t₀
E[X_t] = μ₂,  t ≥ t₀
且 |μ₂ - μ₁| > δ（δ为告警阈值）

则判定发生均值漂移。常用检测方法包括：

• 累积和（CUSUM）检验：对序列累积偏差进行监控，适合在线实时检测。
• 滑动t检验：比较滑动窗口内均值差异，适合离线分析。
• 贝叶斯变点检测：通过后验概率推断变点位置，适合低频因子。

2.2 方差漂移（Variance Shift）

方差漂移关注因子波动率的结构性变化。当因子序列的方差在某个时间点后显著增大或减小时，即使均值未变，也会导致风险模型失效。数学定义如下：

Var[X_t] = σ₁²,  t < t₀
Var[X_t] = σ₂²,  t ≥ t₀
且 |σ₂² - σ₁²| / σ₁² > γ（γ为告警阈值）

常用检测方法：

2.3 分布形态漂移：KS检验与JS散度

分布形态漂移是最全面的漂移度量，它不局限于均值或方差，而是检测整个概率分布的变化。本节重点介绍两种主流方法：KS检验和JS散度。

2.3.1 KS检验（Kolmogorov-Smirnov Test）

KS检验通过比较两个经验分布函数的最大垂直距离来判断分布是否相同。对于参考分布 \( F_1(x) \) 和当前分布 \( F_2(x) \)，KS统计量定义为：

D = sup_x |F₁(x) - F₂(x)|

其中：
- D ∈ [0, 1]，值越大表示分布差异越大
- 当 D > D_critical（临界值）时，拒绝分布相同的原假设

KS检验的优缺点：

• 优点：非参数方法，无需假设分布形态；对位置和形状变化都敏感。
• 缺点：对尾部差异不敏感；在大样本下容易过度敏感。

2.3.2 JS散度（Jensen-Shannon Divergence）

JS散度是基于信息熵的分布距离度量，是KL散度的对称化改进版本。对于两个概率分布 \( P \) 和 \( Q \)，JS散度定义为：

JS(P || Q) = ½ KL(P || M) + ½ KL(Q || M)
其中 M = ½ (P + Q)
KL(P || Q) = Σ P(x) log(P(x) / Q(x))

JS散度的特性：

2.4 三种漂移的数学关系与选择策略

在实际应用中，三种漂移并非互斥，而是存在层级关系：

• 均值漂移是分布位置的变化，属于一阶矩漂移。
• 方差漂移是分布离散度的变化，属于二阶矩漂移。
• 分布形态漂移涵盖所有阶矩的变化（包括偏度、峰度等），是最全面的度量。

选择策略建议：