2. PSI数学原理：群体稳定性指标公式推导、分箱与期望频率、实际频率的计算逻辑

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量模型评分分布随时间或样本集变化的量化工具。其核心思想是通过比较两个分布（期望分布与实际分布）在每个分箱上的差异，累加得到整体偏移程度。本章从数学公式出发，逐步拆解分箱逻辑与频率计算过程。

2.1 PSI公式推导

PSI 的数学定义基于信息论中的交叉熵与 KL 散度。假设将模型评分划分为 n 个分箱，每个分箱在期望分布中的占比为 E_i（期望频率），在实际分布中的占比为 A_i（实际频率），则 PSI 计算公式为：

PSI = Σ (Aᵢ - Eᵢ) × ln(Aᵢ / Eᵢ)   (i = 1, 2, ..., n)

公式推导逻辑如下：

• 步骤1： 计算每个分箱的实际频率与期望频率的差值 (Aᵢ - Eᵢ)，反映该箱的偏移方向与幅度。
• 步骤2： 计算实际频率与期望频率的比值 (Aᵢ / Eᵢ)，取自然对数 ln(Aᵢ / Eᵢ)，用于衡量相对变化。
• 步骤3： 将差值乘以对数比值，累加所有分箱得到 PSI 值。

当 Aᵢ = Eᵢ 时，ln(1) = 0，该箱贡献为 0；当分布完全一致时，PSI = 0。PSI 值越大，表示两个分布差异越大，模型稳定性越差。

2.2 分箱逻辑与策略

分箱是 PSI 计算的基础步骤，直接影响指标敏感度。常见的分箱方法包括等距分箱、等频分箱与自定义分箱。分箱数量通常建议在 10~20 之间，过少会掩盖局部偏移，过多则导致噪声放大。

2.3 期望频率与实际频率的计算逻辑

期望频率（Eᵢ）与实际频率（Aᵢ）是 PSI 计算的核心输入。两者计算逻辑一致，但数据来源不同：

• 期望频率（Eᵢ）： 基于模型开发时或基准期的评分分布。计算方式为：
  Eᵢ = 第 i 箱样本数 / 基准期总样本数
• 实际频率（Aᵢ）： 基于当前监控期的评分分布。计算方式为：
  Aᵢ = 第 i 箱样本数 / 监控期总样本数

计算步骤示例（假设分箱数为 5）：

# 基准期评分分布（期望）
期望样本数 = [200, 300, 350, 100, 50]   # 总样本 = 1000
期望频率 E = [0.20, 0.30, 0.35, 0.10, 0.05]

# 监控期评分分布（实际）
实际样本数 = [180, 320, 370, 90, 40]    # 总样本 = 1000
实际频率 A = [0.18, 0.32, 0.37, 0.09, 0.04]

# 计算每个分箱的贡献
箱1: (0.18 - 0.20) × ln(0.18/0.20) = (-0.02) × (-0.1054) = 0.0021
箱2: (0.32 - 0.30) × ln(0.32/0.30) =  0.02  ×  0.0645  = 0.0013
箱3: (0.37 - 0.35) × ln(0.37/0.35) =  0.02  ×  0.0556  = 0.0011
箱4: (0.09 - 0.10) × ln(0.09/0.10) = (-0.01) × (-0.1054) = 0.0011
箱5: (0.04 - 0.05) × ln(0.04/0.05) = (-0.01) × (-0.2231) = 0.0022

PSI = 0.0021 + 0.0013 + 0.0011 + 0.0011 + 0.0022 = 0.0078

PSI = 0.0078 远小于 0.1，表明模型评分分布稳定，无需告警。

2.4 PSI 阈值与业务解读

PSI 值的大小对应不同的稳定性等级，业界常用阈值如下：