3. PSI 数学原理：群体稳定性指标的公式推导、分箱方法与期望/实际比例计算
群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个样本分布之间差异的标准化度量。在贷后风控中，它用于量化特征在建模样本（期望分布）与监控样本（实际分布）之间的偏移程度。本章从数学公式出发，逐步拆解 PSI 的计算逻辑、分箱策略以及比例计算细节。
3.1 PSI 公式推导：从相对熵到实际应用
PSI 的核心思想源于信息论中的相对熵（Kullback-Leibler Divergence, KL 散度）。KL 散度衡量两个概率分布 P 和 Q 之间的差异：
KL(P || Q) = Σ (P_i * ln(P_i / Q_i))由于 KL 散度是非对称的（KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)），PSI 采用对称化的形式，同时计算期望分布对实际分布、以及实际分布对期望分布的 KL 散度之和：
PSI = Σ ( (Actual_i - Expected_i) * ln(Actual_i / Expected_i) )其中：
- Expected_i：第 i 个分箱中期望样本的占比（建模样本分布）
- Actual_i：第 i 个分箱中实际样本的占比（监控样本分布）
当两个分布完全一致时，Actual_i = Expected_i，ln(1)=0，PSI=0。偏移越大，PSI 值越高。
业务解读： PSI 本质上是一个加权偏差平方和，权重由分布差异的对数比决定。它同时惩罚了“期望高但实际低”和“期望低但实际高”两种情况，适合贷后场景中双向漂移的监控。
3.2 分箱方法：离散化连续特征
PSI 计算要求将特征值划分为若干个箱（bin）。分箱质量直接影响 PSI 的敏感性和稳定性。以下是三种主流分箱方法及其适用场景：
| 分箱方法 | 原理 | 优点 | 缺点 | 贷后推荐场景 |
|---|---|---|---|---|
| 等距分箱 | 按数值范围等间隔划分 | 实现简单，箱边界固定 | 数据稀疏时箱内样本过少 | 评分卡分数、收入等均匀分布特征 |
| 等频分箱 | 按样本数量等比例划分 | 每箱样本量均衡，统计稳定 | 边界随分布变化，跨期可比性弱 | 贷后逾期率、负债率等偏态特征 |
| 决策树分箱 | 基于目标变量（如逾期标签）的最优切分 | 业务解释性强，与模型对齐 | 可能过拟合，需控制叶子节点数 | 模型入模特征、WOE 转换前预处理 |
分箱避坑： 分箱数量通常建议在 5~20 之间。箱数过少会掩盖局部漂移，箱数过多则导致个别箱占比为 0，使 ln(0) 无定义。若某箱实际占比为 0，可做平滑处理（如加极小值 0.0001）或合并相邻箱。
3.3 期望比例与实际比例的计算
分箱完成后，需要分别计算每个箱在期望分布和实际分布中的占比（比例）。计算步骤如下：
- 确定分箱边界：基于建模样本（期望分布）确定每个箱的上下界。
- 统计期望频数：统计建模样本中落入每个箱的样本数，记为
count_exp_i。 - 计算期望比例：
Expected_i = count_exp_i / N_exp，其中N_exp为建模样本总数。 - 映射实际样本：将监控样本（实际分布）按相同的分箱边界映射到各箱，统计频数
count_act_i。 - 计算实际比例：
Actual_i = count_act_i / N_act，其中N_act为监控样本总数。
关键原则： 分箱边界必须由期望分布（建模样本）确定，并在整个监控周期内固定不变。如果每次监控都重新分箱，PSI 将失去跨期可比性。
3.4 完整计算示例：贷后收入特征漂移
假设某贷后模型使用“月收入”作为特征，建模样本（期望）与本月监控样本（实际）的分布如下（等频分箱，5 箱）：
| 分箱编号 | 收入区间（元） | 期望样本数 | 期望比例 | 实际样本数 | 实际比例 | (实际-期望) | ln(实际/期望) | 单项 PSI |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | [0, 5000) | 2000 | 0.200 | 1800 | 0.180 | -0.020 | -0.1054 | 0.0021 |
| 2 | [5000, 8000) | 2000 | 0.200 | 2100 | 0.210 | 0.010 | 0.0488 | 0.0005 |
| 3 | [8000, 12000) | 2000 | 0.200 | 2200 | 0.220 | 0.020 | 0.0953 | 0.0019 |
| 4 | [12000, 20000) | 2000 | 0.200 | 1900 | 0.190 | -0.010 | -0.0513 | 0.0005 |
| 5 | [20000, +∞) | 2000 | 0.200 | 2000 | 0.200 | 0.000 | 0.0000 | 0.0000 |
| 合计 PSI | 0.0050 | |||||||
计算得到 PSI = 0.0050，远低于 0.1 的预警阈值，说明本月收入分布与建模样本基本一致，无需触发漂移预警。
3.5 PSI 计算流程总览
下图展示了从原始数据到 PSI 输出的完整计算链路：
3.6 PSI 阈值与业务决策
计算得到 PSI 值后，需要结合业务经验设定预警阈值。行业通用参考标准如下：
| PSI 范围 | 漂移程度 | 贷后建议动作 |
|---|---|---|
| PSI < 0.1 | 无显著漂移 | 继续常规监控，无需干预 |
| 0.1 ≤ PSI < 0.25 | 轻度漂移 | 发出预警，排查特征分布变化原因 |
| PSI ≥ 0.25 | 严重漂移 | 立即触发模型复审，考虑模型重建或特征替换 |
阈值调整建议： 对于高敏感业务（如现金贷、高风险客群），可将预警阈值下调至 0.05；对于低频大额信贷，可适当放宽至 0.15。阈值设定应结合历史 PSI 分布和业务损失容忍度。
3.7 本章小结
- PSI 基于 KL 散度的对称化形式，公式为 Σ((Actual_i - Expected_i) * ln(Actual_i / Expected_i))。
- 分箱方法包括等距、等频和决策树分箱，贷后场景推荐等频分箱以保证统计稳定性。
- 期望比例由建模样本计算，实际比例由监控样本计算，分箱边界必须固定。
- PSI < 0.1 视为稳定，0.1~0.25 需预警，≥0.25 需紧急干预。