2. PSI 数学原理与计算公式

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是风控模型监控中最核心的量化指标，用于衡量模型评分在 实际分布 与 预期分布 之间的偏移程度。本章从数学推导、分箱策略、对比逻辑到数值解读，完整拆解 PSI 的计算全链路。

2.1 PSI 的数学推导

PSI 的数学基础源于信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence），但做了对称化处理。其核心思想是：将连续型模型评分划分为 k 个离散区间（分箱），然后逐箱计算实际占比与预期占比的差异，并加权求和。

标准计算公式：

PSI = Σ (实际占比_i - 预期占比_i) × ln(实际占比_i / 预期占比_i)

其中：

• 实际占比_i：当前监控周期内，落在第 i 个分箱中的样本数占总样本数的比例。
• 预期占比_i：模型开发或基准周期内，落在第 i 个分箱中的样本数占总样本数的比例。
• ln：自然对数，用于放大占比差异的非线性影响。
• Σ：对所有分箱求和，得到最终的 PSI 值。

数学推导要点：

1. 从 KL 散度出发：KL(P||Q) = Σ P_i × ln(P_i / Q_i)，其中 P 为实际分布，Q 为预期分布。KL 散度是非对称的，即 KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)。
2. 对称化处理：PSI 采用 (P_i - Q_i) × ln(P_i / Q_i) 的形式，既保留了方向性，又通过差值项实现了对称性，使得 PSI 对双向偏移都敏感。
3. 当 P_i = Q_i 时：ln(P_i / Q_i) = 0，且 (P_i - Q_i) = 0，该分箱贡献为 0，PSI = 0，表示无偏移。
4. 当 P_i 或 Q_i 为 0 时：为避免 ln(0) 或除以 0，通常对占比做微小平滑处理（如加 0.0001），或合并空箱。

2.2 分箱策略：等频 vs 等距

分箱是 PSI 计算的前置步骤，直接影响 PSI 的敏感度和稳定性。主流策略有两种：等频分箱 和 等距分箱。

分箱数量建议： 通常取 10 箱（即 10 个分位点），样本量较大时可取 20 箱，样本量较小（如 < 5000）时建议取 5 箱，避免统计噪声。

2.3 实际分布与预期分布的对比逻辑

PSI 的计算过程本质上是一个 逐箱对比 的过程。以下 SVG 图展示了从原始评分到 PSI 值的完整对比逻辑。

2.4 PSI 值含义解读

PSI 是一个无量纲的数值，其大小直接反映模型分布的偏移程度。行业通用的判断阈值如下：

解读注意事项：

• 阈值不是绝对的：0.1 和 0.25 是行业经验值，实际业务中可根据模型重要性、样本量、业务容忍度做微调。例如，信贷审批模型可适当放宽至 0.15/0.3，反欺诈模型建议收紧至 0.08/0.2。
• 分箱数影响 PSI 绝对值：分箱越多，PSI 通常越大。使用 10 箱时 0.1 的阈值，若改用 20 箱，阈值应相应上调至约 0.15。
• PSI 不能定位漂移原因：PSI 只告诉你“漂移了”，但不告诉你“为什么漂移”。需要结合特征 PSI、变量分布图、业务事件日志做根因分析。
• 样本量不足时 PSI 不可靠：当监控样本量 < 1000 时，PSI 的统计波动较大，建议结合 KS 检验或卡方检验辅助判断。

2.5 PSI 计算代码示例（Python）

以下代码展示了基于等频分箱的 PSI 计算实现，可直接用于模型监控脚本中。

import numpy as np
import pandas as pd

def calculate_psi(expected, actual, bins=10):
    """
    计算群体稳定性指标 (PSI)
    
    参数:
        expected: array-like, 预期分布（基准样本评分）
        actual: array-like, 实际分布（监控样本评分）
        bins: int, 分箱数量（默认10箱等频分箱）
    
    返回:
        psi: float, PSI 值
        psi_df: DataFrame, 逐箱明细
    """
    # 基于预期分布确定分箱边界（等频）
    percentiles = np.linspace(0, 100, bins + 1)
    bin_edges = np.percentile(expected, percentiles)
    bin_edges[0] = -np.inf
    bin_edges[-1] = np.inf
    
    # 将预期和实际样本映射到分箱
    expected_bins = np.digitize(expected, bin_edges, right=True)
    actual_bins = np.digitize(actual, bin_edges, right=True)
    
    # 计算各箱占比
    expected_counts = np.bincount(expected_bins, minlength=bins+1)[1:bins+1]
    actual_counts = np.bincount(actual_bins, minlength=bins+1)[1:bins+1]
    
    expected_pct = expected_counts / len(expected)
    actual_pct = actual_counts / len(actual)
    
    # 平滑处理，避免 ln(0)
    epsilon = 1e-6
    expected_pct = np.clip(expected_pct, epsilon, 1 - epsilon)
    actual_pct = np.clip(actual_pct, epsilon, 1 - epsilon)
    
    # 逐箱计算 PSI 贡献
    psi_components = (actual_pct - expected_pct) * np.log(actual_pct / expected_pct)
    psi = np.sum(psi_components)
    
    # 构建明细 DataFrame
    psi_df = pd.DataFrame({
        '分箱': range(1, bins + 1),
        '预期占比': expected_pct,
        '实际占比': actual_pct,
        'PSI贡献': psi_components
    })
    
    return psi, psi_df

# 示例用法
np.random.seed(42)
expected_scores = np.random.normal(600, 100, 10000)  # 基准分布
actual_scores = np.random.normal(620, 110, 10000)    # 偏移后的分布

psi_value, psi_detail = calculate_psi(expected_scores, actual_scores, bins=10)
print(f"PSI 值: {psi_value:.4f}")
print(psi_detail.head())

代码输出示例：

PSI 值: 0.0327
   分箱     预期占比     实际占比   PSI贡献
0    1  0.1000  0.0860  0.0021
1    2  0.1000  0.0910  0.0009
2    3  0.1000  0.0950  0.0003
3    4  0.1000  0.0980  0.0000
4    5  0.1000  0.1020  0.0000