2. PSI 数学原理：公式推导、期望分布与实际分布、分箱策略

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个概率分布之间差异程度的统计量，在风控与反欺诈领域常用于监控模型评分或特征分布在时间维度上的偏移程度。理解 PSI 的数学原理，是后续将其应用于团伙识别漂移监控的基础。

2.1 PSI 公式推导

PSI 的核心思想来源于信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence），但 PSI 对其进行了对称化处理，使其成为一个对称且有界的度量指标。PSI 的计算公式如下：

PSI = Σ (实际占比_i - 期望占比_i) * ln(实际占比_i / 期望占比_i)

其中：

• 实际占比_i：第 i 个分箱中，实际分布（如当前月份）的样本数量占总样本数的比例。
• 期望占比_i：第 i 个分箱中，期望分布（如模型开发时或上个月）的样本数量占总样本数的比例。
• ln：自然对数。
• Σ：对所有分箱求和。

从公式可以看出，PSI 实际上是 (实际占比 - 期望占比) 与 ln(实际占比 / 期望占比) 的乘积之和。当两个分布完全一致时，每个分箱的差值为 0，PSI = 0。分布差异越大，PSI 值越大。

2.2 期望分布与实际分布的定义

在 PSI 计算中，两个核心输入变量是期望分布与实际分布。它们的定义直接决定了监控的方向和意义。

2.3 分箱策略：等频分箱与等距分箱

PSI 的计算依赖于对连续变量或概率值进行分箱。分箱策略的选择直接影响 PSI 的敏感度和稳定性。主流的分箱策略有两种：等频分箱和等距分箱。

2.3.1 等频分箱 (Equal Frequency Binning)

等频分箱将数据按照样本数量均匀划分，使得每个分箱中包含大致相同数量的样本。这种策略对数据分布的形状不敏感，能保证每个分箱都有足够的样本量，避免出现空箱或样本过少导致的计算不稳定。

• 优点： 分箱稳定，不易受极端值影响；每个分箱统计意义强。
• 缺点： 分箱边界随数据分布变化而变化，不同时间点的分箱边界可能不一致，需要对齐处理。
• 适用场景： 特征分布未知或分布极不均匀时；模型评分等概率型变量的监控。

2.3.2 等距分箱 (Equal Width Binning)

等距分箱将变量的取值范围均匀划分为若干个等宽的区间。分箱边界是固定的，不依赖于样本分布。

• 优点： 分箱边界固定，便于跨时间点直接对比；计算简单，可解释性强。
• 缺点： 如果数据分布极不均匀，可能出现大量样本集中在少数分箱，而其他分箱样本稀疏甚至为空的情况，导致 PSI 计算不稳定。
• 适用场景： 变量取值范围已知且相对稳定时；年龄、收入等连续型特征的监控。

2.4 PSI 计算流程与分箱策略选择

下图展示了 PSI 计算的完整流程，以及分箱策略在其中的位置和作用。

2.5 PSI 阈值与解读

计算得到 PSI 值后，需要根据经验阈值判断漂移程度。以下是行业通用的 PSI 解读标准：