图神经网络基础：图的基本概念、节点与边、邻接矩阵、图的性质

在深入 GraphSAGE 模型之前，必须牢固掌握图这一核心数据结构。图（Graph）是一种用于描述对象及其之间关系的数学结构，是图神经网络（GNN）所有操作的基石。本节将系统梳理图的基本构成要素、数学表示方法以及关键性质。

1. 图的基本构成：节点与边

一个图由两个核心集合定义：节点（Vertex/Node） 和 边（Edge）。节点代表实体对象，边代表实体之间的关联。

• 节点（Node）：图中的基本单元，通常用符号 v ∈ V 表示。在社交网络中，节点可以是用户；在分子结构中，节点是原子。
• 边（Edge）：连接两个节点的关系线，用 e ∈ E 表示。边可以是有向的（箭头指向）或无向的（双向对称）。
• 图（Graph）：记作 G = (V, E)，其中 V 是节点集合，E 是边集合。

2. 图的数学表示：邻接矩阵

为了将图结构输入到神经网络中，我们需要一种标准化的数学表示——邻接矩阵（Adjacency Matrix）。对于一个包含 N 个节点的图，邻接矩阵 A 是一个 N × N 的方阵。

以下是一个 4 节点无向图的邻接矩阵示例：

# 图结构：节点 0-1, 0-2, 1-2, 2-3 相连
# 邻接矩阵 A (4x4)
A = [
    [0, 1, 1, 0],  # 节点0连接1和2
    [1, 0, 1, 0],  # 节点1连接0和2
    [1, 1, 0, 1],  # 节点2连接0、1和3
    [0, 0, 1, 0]   # 节点3仅连接2
]

3. 图的关键性质

理解图的以下性质，对于设计 GNN 模型和诊断模型漂移至关重要：

4. 图的类型与选择

在实际业务场景中，图的结构类型直接影响建模策略。以下是常见图类型及其在漂移检测中的应用：

• 同构图 (Homogeneous Graph)：所有节点和边属于同一类型。例如，社交网络中的“用户-用户”好友关系。
• 异构图 (Heterogeneous Graph)：包含多种类型的节点和边。例如，电商图中包含“用户”、“商品”、“店铺”三类节点和“购买”、“收藏”、“属于”三类边。
• 动态图 (Dynamic Graph)：节点和边随时间变化。在模型看板漂移检测中，动态图是最常见的场景——新用户注册、交易关系建立/断开都会改变图结构。

5. 图在 GraphSAGE 中的角色

在 GraphSAGE 模型中，图结构决定了消息传递的路径和范围。模型通过聚合邻居节点的特征来更新目标节点的表示。以下代码展示了如何利用邻接矩阵获取节点的邻居信息：

import numpy as np

# 假设邻接矩阵 A 和节点特征矩阵 X
A = np.array([
    [0, 1, 1, 0],
    [1, 0, 1, 0],
    [1, 1, 0, 1],
    [0, 0, 1, 0]
])

# 获取节点 0 的邻居索引（无向图）
neighbors_0 = np.where(A[0] == 1)[0]
print(f"节点 0 的邻居: {neighbors_0}")  # 输出: [1 2]

# 模拟 1 跳邻居特征聚合（平均聚合）
X = np.array([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0], [5.0, 6.0], [7.0, 8.0]])
neighbor_features = X[neighbors_0]  # 取邻居节点特征
aggregated = np.mean(neighbor_features, axis=0)
print(f"节点 0 的聚合邻居特征: {aggregated}")  # 输出: [4. 5.]