PSI 数学原理与公式推导

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个分布之间差异程度的统计量，在评分卡监控中用于量化模型评分分布随时间或样本集的变化幅度。理解 PSI 的数学本质，是正确设定阈值、解读漂移信号的前提。

2.1 PSI 的数学定义

PSI 的计算基于将连续评分划分为 k 个等宽或等频区间（通常为 10–20 个分箱），然后比较每个区间内实际分布（当前评分）与期望分布（建模时评分）的占比差异。其标准公式为：

PSI = Σ (Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)

其中：

• Expected_i：建模样本（基准集）在第 i 个分箱中的样本占比；
• Actual_i：当前监控样本（实际集）在第 i 个分箱中的样本占比；
• ln(Actual_i / Expected_i)：实际占比与期望占比的自然对数比；
• 求和：对所有非空分箱的贡献值求和。

2.2 基于信息论的解读：相对熵视角

PSI 在数学上等价于 Kullback-Leibler 散度（KL 散度） 的对称化形式。KL 散度衡量用一个分布 P 近似另一个分布 Q 时的信息损失：

KL(P || Q) = Σ P_i × ln(P_i / Q_i)

PSI 实际上是 KL(Actual || Expected) + KL(Expected || Actual) 的对称版本，即：

PSI = Σ (Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)
    = Σ Actual_i × ln(Actual_i / Expected_i) + Σ Expected_i × ln(Expected_i / Actual_i)
    = KL(Actual || Expected) + KL(Expected || Actual)

这种对称性使得 PSI 对两个分布的角色不敏感——无论将哪个分布视为基准，计算结果一致。这与 KL 散度的非对称性形成对比，也是 PSI 在工业监控中更受欢迎的原因之一。

2.3 分布差异的直观解释：对数比求和

PSI 的核心计算单元是 (Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)。这个乘积可以拆解为两个因子的作用：

• 差异方向因子 (Actual_i - Expected_i)：表示当前分布相对于基准分布是“偏多”还是“偏少”。正号表示该分箱中实际样本占比上升，负号表示下降。
• 差异幅度因子 ln(Actual_i / Expected_i)：表示偏离的比例。当 Actual_i = Expected_i 时，该因子为 0；偏离越大，绝对值越大。

两个因子相乘后，每个分箱的贡献始终为非负值（因为当 Actual_i > Expected_i 时，两项均为正；当 Actual_i < Expected_i 时，两项均为负，乘积仍为正）。因此 PSI 是一个非负指标，值越大表示分布差异越大。

2.4 分箱策略对 PSI 的影响

PSI 对分箱方式敏感，不同分箱策略可能导致同一组数据计算出不同的 PSI 值。实践中需统一分箱规则，确保基准集与监控集使用相同的分箱边界。

2.5 公式推导的完整步骤

为便于编程实现，下面给出 PSI 计算的完整推导步骤，附带 Python 伪代码：

1. 确定分箱边界：基于基准集评分，使用等宽或等频策略生成 k 个分箱的边界数组 bins。
2. 计算基准占比：统计基准集在每个分箱的样本数 count_exp，除以总样本数得到 Expected_i。
3. 计算实际占比：使用相同 bins 对监控集评分分箱，统计 count_act，得到 Actual_i。
4. 逐箱计算贡献：对每个分箱 i，计算 (Actual_i - Expected_i) * log(Actual_i / Expected_i)。
5. 求和：将所有分箱的贡献值相加，得到 PSI。

import numpy as np

def calculate_psi(expected_scores, actual_scores, bins=10):
    # 1. 基于基准集确定分箱边界（等频）
    percentiles = np.linspace(0, 100, bins + 1)
    bin_edges = np.percentile(expected_scores, percentiles)
    bin_edges[0] = -np.inf
    bin_edges[-1] = np.inf
    
    # 2. 基准占比
    exp_counts, _ = np.histogram(expected_scores, bins=bin_edges)
    exp_ratio = exp_counts / len(expected_scores)
    
    # 3. 实际占比
    act_counts, _ = np.histogram(actual_scores, bins=bin_edges)
    act_ratio = act_counts / len(actual_scores)
    
    # 4. 逐箱计算（平滑处理避免除零）
    psi = 0.0
    for i in range(bins):
        e = exp_ratio[i] + 1e-10  # 平滑
        a = act_ratio[i] + 1e-10
        psi += (a - e) * np.log(a / e)
    
    return psi