3. PSI 数学原理与计算公式：分箱逻辑与计算步骤详解
群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是信贷评分卡监控中最核心的量化指标，用于衡量模型评分（或某个特征）在时间维度上的分布偏移程度。其数学本质是 相对熵（Kullback-Leibler Divergence）的对称化变体，通过逐箱比较实际分布与预期分布的差异，累加得到整体漂移分数。
3.1 PSI 标准计算公式
给定将评分区间划分为 n 个箱（bins），PSI 定义为：
PSI = Σᵢ (Actual%ᵢ - Expected%ᵢ) × ln(Actual%ᵢ / Expected%ᵢ)其中：
- Expected%ᵢ：第 i 个箱中，预期样本（通常为建模开发样本或基准期样本）的占比。
- Actual%ᵢ：第 i 个箱中，实际样本（当前监控期样本）的占比。
- ln：自然对数。
- Σ：对所有箱求和。
关键理解： 当实际占比与预期占比完全一致时，每箱贡献为 0，PSI = 0。PSI 越大，分布偏移越严重。
3.2 分箱逻辑与核心原则
分箱是 PSI 计算的前置步骤，分箱方式直接影响 PSI 值的敏感性和稳定性。信贷场景下推荐以下分箱策略：
| 分箱方法 | 操作方式 | 适用场景 | 注意事项 |
|---|---|---|---|
| 等距分箱 | 按评分区间等宽划分（如每 25 分一个箱） | 评分卡分数范围固定，便于跨期对比 | 极端值可能导致空箱 |
| 等频分箱 | 按预期样本的百分位数划分，每箱样本量近似相等 | 开发样本分布不均匀时更稳健 | 监控期样本分布变化后，箱边界可能不再等频 |
| 业务规则分箱 | 按评分卡决策阈值（如拒绝/观察/通过区间）划分 | 业务关注特定决策区间的漂移 | 箱数较少，可能遗漏局部漂移 |
推荐实践： 信贷评分卡 PSI 监控通常采用 等距分箱（10~20 箱），箱数过少会掩盖局部漂移，箱数过多会导致空箱或噪声放大。建议以 10 箱为起点，根据评分卡分数范围调整箱宽。
3.3 计算步骤详解（含示例）
以下通过一个完整的 5 箱示例，逐步演示 PSI 计算过程。
步骤 1：确定分箱边界
假设评分卡分数范围为 300~850，等距分为 5 箱：
- 箱 1：300 ~ 410
- 箱 2：411 ~ 520
- 箱 3：521 ~ 630
- 箱 4：631 ~ 740
- 箱 5：741 ~ 850
步骤 2：统计预期样本与实际样本在各箱的占比
| 箱号 | 评分区间 | 预期样本数 | 预期占比 (E%) | 实际样本数 | 实际占比 (A%) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 300~410 | 1,000 | 10.00% | 1,500 | 15.00% |
| 2 | 411~520 | 2,000 | 20.00% | 2,500 | 25.00% |
| 3 | 521~630 | 3,500 | 35.00% | 3,000 | 30.00% |
| 4 | 631~740 | 2,500 | 25.00% | 2,000 | 20.00% |
| 5 | 741~850 | 1,000 | 10.00% | 1,000 | 10.00% |
| 合计 | — | 10,000 | 100% | 10,000 | 100% |
步骤 3：逐箱计算 (A% - E%) 与 ln(A% / E%)
| 箱号 | A% - E% | A% / E% | ln(A% / E%) | 单箱贡献 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | +5.00% | 1.500 | 0.4055 | 0.0203 |
| 2 | +5.00% | 1.250 | 0.2231 | 0.0112 |
| 3 | -5.00% | 0.857 | -0.1542 | 0.0077 |
| 4 | -5.00% | 0.800 | -0.2231 | 0.0112 |
| 5 | 0.00% | 1.000 | 0.0000 | 0.0000 |
步骤 4：求和得到 PSI
PSI = 0.0203 + 0.0112 + 0.0077 + 0.0112 + 0.0000 = 0.0504
⚠ 空箱处理： 如果某箱实际占比为 0%，则 ln(0 / E%) 无定义。此时建议将该箱与相邻箱合并，或对占比做极小值平滑（如加 0.0001）。信贷场景中，空箱通常意味着评分区间已无客户，需结合业务判断是否合并。
3.4 PSI 计算流程总览
下图展示了从原始评分数据到最终 PSI 值的完整计算链路：
3.5 分箱数量对 PSI 的影响
分箱数量是 PSI 计算中需要权衡的参数。下表总结了不同箱数下的表现特征：
| 箱数 | 敏感性 | 稳定性 | 空箱风险 | 推荐场景 |
|---|---|---|---|---|
| 5 ~ 8 箱 | 低 | 高 | 低 | 快速概览、业务规则分箱 |
| 10 ~ 15 箱 | 中 | 中 | 中 | 标准监控（推荐） |
| 20 ~ 30 箱 | 高 | 低 | 高 | 精细分析、局部漂移检测 |
实操建议： 在信贷评分卡监控系统中，建议同时计算 10 箱 PSI（标准监控）和 20 箱 PSI（精细分析）。若 10 箱 PSI 正常但 20 箱 PSI 偏高，说明存在局部区间漂移，需进一步排查该区间内的客户特征变化。
3.6 常见计算误区与避坑
- 误区一：预期占比和实际占比使用不同分箱边界。 正确做法：统一使用基于预期样本确定的分箱边界，实际样本按此边界重新统计占比。
- 误区二：忽略空箱或零占比箱。 正确做法：合并空箱或做极小值平滑，避免 ln(0) 错误。
- 误区三：使用样本数而非占比计算。 正确做法：PSI 公式中使用的是占比（百分比），而非绝对样本数。若预期和实际样本总量不同，必须归一化为占比。
- 误区四：对 PSI 值过度解读。 正确做法：PSI 是分布差异的量化指标，但无法告知差异的原因。PSI 偏高时，需结合特征分布、业务事件进行根因分析。
核心公式记忆口诀： “实际减预期，乘上对数比，逐箱求和得 PSI，零箱合并要牢记。”