3. PSI 概念与数学原理：群体稳定性指标

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是信用评分模型监控中最核心的量化指标，用于衡量模型评分在时间维度上的分布偏移程度。当模型上线后，如果评分分布发生显著变化，往往意味着模型预测能力下降或客群结构改变，需要触发告警并启动模型迭代。

3.1 PSI 的定义与业务含义

PSI 通过比较两个样本（通常为建模样本与当前样本）在评分区间上的分布差异，量化群体稳定程度。其核心思想是：如果模型对同一客群的评分分布保持稳定，则各分数段上的样本占比应基本一致；反之，占比差异越大，PSI 值越高，模型越不稳定。

3.2 PSI 计算公式与推导

PSI 的数学本质是信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）的对称化形式。其计算公式如下：

PSI = Σ (P_i - Q_i) × ln(P_i / Q_i)

其中：
- P_i：实际样本（当前样本）在第 i 个分数段的占比
- Q_i：预期样本（建模样本）在第 i 个分数段的占比
- i = 1, 2, ..., n，n 为分箱总数

公式解读：

• (P_i - Q_i)：衡量两个分布在该箱上的绝对差异
• ln(P_i / Q_i)：衡量相对差异，即该箱占比变化的倍数
• 乘积求和：将各箱的差异加权汇总，得到整体偏移量

3.3 分箱方法详解

PSI 计算依赖分箱操作，不同的分箱方法会直接影响 PSI 值的敏感性和稳定性。常用的分箱方法有三种：等距分箱、等频分箱和最优分箱。

3.3.1 等距分箱

将评分范围 [min_score, max_score] 等分为 n 个区间，每个区间宽度相同。例如评分 300~900，分 10 箱，则每箱宽度为 60。

# 等距分箱示例（Python）
import numpy as np

scores = np.array([350, 420, 580, 650, 780, 820])
bins = np.linspace(300, 900, 11)  # 10个箱，11个边界
indices = np.digitize(scores, bins)

3.3.2 等频分箱

基于分位数将样本划分为 n 个箱，使每个箱的样本数大致相等。通常使用建模样本的分位数作为固定边界，再应用到当前样本。

# 等频分箱示例（Python）
import pandas as pd

scores = pd.Series([350, 420, 580, 650, 780, 820])
# 基于建模样本计算分位数边界
quantiles = scores.quantile([0, 0.1, 0.2, ..., 1.0])
bins = quantiles.values

3.3.3 最优分箱

最优分箱通过卡方检验、信息价值（IV）或决策树等算法，自动寻找使组间差异最大化的切点。在 PSI 监控中，最优分箱能更早捕捉到细微漂移。

# 最优分箱示例（使用决策树思想）
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier

# 将评分作为特征，目标变量为样本来源（建模样本 vs 当前样本）
X = np.concatenate([scores_expected, scores_actual]).reshape(-1, 1)
y = np.array([0]*len(scores_expected) + [1]*len(scores_actual))

tree = DecisionTreeClassifier(max_leaf_nodes=10)
tree.fit(X, y)
# 获取树的分裂点作为最优分箱边界
thresholds = tree.tree_.threshold[tree.tree_.feature != -2]

3.4 PSI 计算流程与分箱方法对比

下图展示了 PSI 计算的完整流程，以及三种分箱方法在流程中的位置差异：

3.5 三种分箱方法对 PSI 的影响对比

为直观展示分箱方法对 PSI 计算结果的影响，以下使用同一组模拟数据，分别用三种方法计算 PSI：

3.6 PSI 计算的注意事项

• 零值处理：当某箱 Q_i = 0 时，ln(P_i/0) 无定义。实践中通常对占比做平滑处理，如加极小值 1e-6 或使用 Laplace 平滑。
• 分箱边界固定：建模阶段确定分箱边界后，在监控阶段应使用同一组边界，避免因边界变化导致 PSI 值失真。
• 样本量要求：每个箱的样本数建议不少于 30，否则统计波动过大，PSI 值不可靠。
• 多维度监控：PSI 仅反映评分分布的整体偏移，建议结合特征级 PSI（变量稳定性指标）定位具体漂移原因。