2. PSI 数学原理与公式推导

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是信用评分模型监控中最核心的量化指标，用于衡量模型评分在时间维度上的分布偏移程度。本章从数学定义出发，深入拆解 PSI 的计算逻辑、分箱策略的影响及其与信息论中 KL 散度的内在联系。

2.1 PSI 的数学定义

PSI 的数学表达式基于信息论中的交叉熵思想，其标准公式如下：

PSI = Σ (Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)

其中：

• Expected_i：第 i 个分数区间（分箱）在基准期（开发样本）中的样本占比；
• Actual_i：第 i 个分数区间在监控期（当前样本）中的样本占比；
• ln：自然对数，用于放大分布差异的非线性效应；
• Σ：对所有分箱求和，得到整体偏移量。

2.2 分箱策略对 PSI 计算的影响

分箱（Binning）是 PSI 计算的前置步骤，不同的分箱策略会显著改变 PSI 的数值和敏感度。下表对比了三种主流分箱方式：

2.3 PSI 与 KL 散度的关系

PSI 在数学上等价于对称化后的 KL 散度。KL 散度（Kullback-Leibler divergence）衡量两个概率分布 P 和 Q 之间的非对称差异：

KL(P || Q) = Σ P(i) × ln(P(i) / Q(i))

而 PSI 实际上是同时计算了 KL(Actual || Expected) 和 KL(Expected || Actual) 并取平均：

PSI = KL(Actual || Expected) + KL(Expected || Actual)
    = Σ Actual_i × ln(Actual_i / Expected_i) + Σ Expected_i × ln(Expected_i / Actual_i)
    = Σ (Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)

这种对称化处理使得 PSI 具有以下优良性质：

• 非负性：PSI ≥ 0，当且仅当两个分布完全一致时 PSI = 0；
• 对称性：交换基准期和监控期，PSI 值不变；
• 有界性：在实际应用中，PSI 通常落在 [0, 1] 区间，超过 0.25 即视为严重漂移。

2.4 PSI 计算示例

以下为一个简化的 5 箱 PSI 计算示例，展示从分箱到最终 PSI 值的完整计算过程：

2.5 PSI 与 KL 散度的对比总结