4. 样本量计算：如何根据预期效应量、显著性水平和统计功效计算所需样本量，以及商户分层抽样策略

在商户风险实验中，样本量不足会导致统计功效过低，无法检测到真实存在的风险差异；样本量过大则浪费资源、延长实验周期。本章系统讲解样本量计算的核心参数与方法，并给出面向商户分层结构的抽样策略。

4.1 样本量计算的核心参数

样本量计算依赖四个关键参数，它们之间的数学关系决定了所需的最小样本量：

4.2 样本量计算公式与代码实现

对于两独立样本均值比较（最常见的商户实验场景），每组所需样本量公式为：

n = 2 * ( (Z_α/2 + Z_β)² * σ² ) / δ²

其中 Z_α/2 和 Z_β 分别为标准正态分布下对应 α/2 和 β 的分位数。以下 Python 代码可直接用于计算：

import scipy.stats as stats
import math

def sample_size_two_groups(effect_size, alpha=0.05, power=0.80):
    """
    计算两独立样本均值比较所需每组样本量
    :param effect_size: 标准化效应量 (Cohen's d)
    :param alpha: 显著性水平
    :param power: 统计功效
    :return: 每组所需样本量（向上取整）
    """
    z_alpha = stats.norm.ppf(1 - alpha / 2)
    z_beta = stats.norm.ppf(power)
    n = 2 * ((z_alpha + z_beta) ** 2) / (effect_size ** 2)
    return math.ceil(n)

# 示例：中等效应量 0.5，α=0.05，功效=0.80
print(sample_size_two_groups(0.5))  # 输出: 64

# 示例：小效应量 0.3，α=0.05，功效=0.90
print(sample_size_two_groups(0.3, power=0.90))  # 输出: 235

4.3 样本量计算流程

下图展示了从参数设定到最终样本量确定的完整流程：

4.4 商户分层抽样策略

商户群体通常具有高度异质性——大型商户与小微商户的风险特征差异显著。直接进行简单随机抽样会导致组内变异过大，降低统计功效。分层抽样是解决该问题的核心策略。

4.4.1 分层变量选择

选择分层变量时应遵循以下原则：

• 与风险指标高度相关：如商户交易量、历史逾期率、行业类别、经营年限。
• 层内同质、层间异质：同一层内商户风险特征相似，不同层之间差异明显。
• 分层变量可观测且稳定：使用实验前可获取的静态或准静态数据。

4.4.2 分层抽样流程

下图展示了商户分层抽样的完整步骤：

4.4.3 层内样本量分配方法

确定分层后，需要将总样本量分配到各层。常用三种分配策略：

4.5 综合案例：商户风险实验样本量规划

假设某支付平台计划测试新的风控规则对欺诈率的影响，商户总体共 50,000 户，按月交易量分为三层：

• 低交易量层：30,000 户，欺诈率标准差 σ₁ = 0.02
• 中交易量层：15,000 户，欺诈率标准差 σ₂ = 0.04
• 高交易量层：5,000 户，欺诈率标准差 σ₃ = 0.06

实验要求：检测效应量 δ = 0.01（绝对差异），α = 0.05，功效 = 0.80。

步骤1：计算总样本量

使用 Cohen's d 标准化效应量。由于各层标准差不同，采用加权平均标准差：

σ_pooled = sqrt( (30000*0.02² + 15000*0.04² + 5000*0.06²) / 50000 )
         = sqrt( (12 + 24 + 18) / 50000 )
         = sqrt(54 / 50000)
         ≈ 0.0329

Cohen's d = δ / σ_pooled = 0.01 / 0.0329 ≈ 0.304

# 使用之前定义的函数
n_total = sample_size_two_groups(0.304, alpha=0.05, power=0.80)
print(n_total)  # 每组约 170 户，两组共 340 户

步骤2：按最优分配计算各层样本量

# 计算各层权重
N = [30000, 15000, 5000]
sigma = [0.02, 0.04, 0.06]
n_per_group = 170  # 每组总样本量

# 计算 N_h * sigma_h
weighted = [N[i] * sigma[i] for i in range(3)]
total_weighted = sum(weighted)

# 各层样本量
n_layer = [round(n_per_group * w / total_weighted) for w in weighted]
print(n_layer)  # 输出示例: [46, 61, 63]

# 验证
print(sum(n_layer))  # 应接近 170

步骤3：检查与调整

高交易量层仅 5,000 户，但分配了 63 户样本（占该层 1.26%），可行。低交易量层分配 46 户（占该层 0.15%），需确保该层内实验组与对照组随机化充分。

4.6 样本量计算工具与注意事项

除手动计算外，常用工具包括：

• Python：statsmodels.stats.power 模块中的 TTestIndPower 类
• R：pwr 包中的 pwr.t.test 函数
• 在线计算器：如 ClinCalc、Power and Sample Size 网站