4. t检验与z检验：单样本t检验、双样本t检验、z检验适用条件、在保险费率测试中的应用
在保险精算的A/B测试中，t检验与z检验是最核心的参数检验方法。它们用于判断两组数据（如新旧费率下的赔付率）的均值差异是否具有统计显著性。本章将系统讲解单样本t检验、双样本t检验、z检验的适用条件，并结合保险费率测试场景给出应用示例。
4.1 假设检验的基本逻辑
所有检验都围绕一个核心问题：观察到的差异是真实存在的，还是由随机波动造成的？ 检验流程如下：
- 提出假设：原假设 H₀（无差异） vs. 备择假设 H₁（有差异）。
- 选择检验统计量：根据数据特征选择 t 或 z。
- 计算 p 值：在 H₀ 为真的前提下，观察到当前结果（或更极端结果）的概率。
- 做出决策：若 p < α（通常 0.05），拒绝 H₀，认为差异显著。
精算提示：在费率测试中，α 通常取 0.05 或 0.10。若测试涉及偿付能力监管指标，建议使用更严格的 α = 0.01 以降低 I 类错误风险。
4.2 单样本t检验
适用场景：将一组样本的均值与一个已知的总体均值（或目标值）进行比较。例如：检验某地区新费率下的平均赔付率是否显著高于公司预设的 65% 目标赔付率。
前提条件：
- 样本数据近似服从正态分布（或样本量 ≥ 30 时近似成立）。
- 总体标准差 σ 未知，需用样本标准差 s 估计。
检验统计量公式：
t = (x̄ - μ₀) / (s / √n)
其中：
x̄ = 样本均值
μ₀ = 已知总体均值（目标值）
s = 样本标准差
n = 样本量
自由度 df = n - 1保险精算案例：某车险产品历史平均赔付率为 68%。精算师从新费率实施后的 25 个地区抽取数据，计算得平均赔付率 72%，标准差 8%。问新费率是否显著提高了赔付率？
t = (72 - 68) / (8 / √25) = 4 / 1.6 = 2.50
df = 24
查 t 分布表，单侧 p 值 ≈ 0.01 < 0.05 → 拒绝 H₀，差异显著。
实务要点：单样本t检验常用于费率对标测试——将新费率试点区域的赔付率与公司整体目标或行业基准进行比较。
4.3 双样本t检验
适用场景：比较两个独立样本组的均值是否存在显著差异。这是A/B测试中最常用的方法，例如：比较旧费率组（对照组）与新费率组（实验组）的户均保费或赔付率。
两种变体：
| 类型 | 前提条件 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 等方差t检验（Student's t） | 两组总体方差相等 | 两组数据来自同一业务线、相似风险分布 |
| 异方差t检验（Welch's t） | 两组总体方差不要求相等 | 两组数据方差差异明显时更稳健 |
Welch's t 检验统计量公式（推荐默认使用）：
t = (x̄₁ - x̄₂) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
自由度 df 使用 Welch-Satterthwaite 公式近似计算。保险精算案例：某健康险产品在 A 地区（旧费率，n₁=200）平均赔付率 65%，标准差 10%；在 B 地区（新费率，n₂=180）平均赔付率 62%，标准差 12%。问新费率是否显著降低了赔付率？
t = (65 - 62) / √(10²/200 + 12²/180) = 3 / √(0.5 + 0.8) = 3 / 1.14 ≈ 2.63
df ≈ 350（近似）
p 值 ≈ 0.009 < 0.05 → 拒绝 H₀，新费率显著降低赔付率。
常见陷阱：在保险A/B测试中，两组样本量往往不相等（如实验组仅占 10% 流量）。此时必须使用 Welch's t 检验，不要默认使用等方差t检验。
4.4 z检验
适用场景：当总体标准差 σ 已知或样本量足够大（n ≥ 30）时，z检验可作为t检验的近似替代。在精算领域，z检验常用于比例检验（如比较两组客户的续保率差异）。
z检验与t检验的对比：
| 维度 | z检验 | t检验 |
|---|---|---|
| 总体标准差 | 已知 | 未知（用样本标准差估计） |
| 样本量要求 | 大样本（n ≥ 30） | 小样本也可用 |
| 分布假设 | 正态分布或大样本近似 | 正态分布（小样本时严格） |
| 精算常用场景 | 比例检验（续保率、理赔率） | 均值检验（赔付额、保费收入） |
双样本比例z检验公式（用于续保率测试）：
z = (p₁ - p₂) / √(p̄(1-p̄)(1/n₁ + 1/n₂))
其中：
p₁, p₂ = 两组样本比例
p̄ = (x₁ + x₂) / (n₁ + n₂) 为合并比例
精算提示：在费率测试中，若样本量超过 1000，z检验与t检验的结果几乎一致。但精算报告通常要求精确 p 值，建议统一使用 t 检验（软件自动计算），避免因“σ是否已知”产生争议。
4.5 在保险费率测试中的应用
以下流程图展示了在费率A/B测试中如何选择检验方法：
4.6 精算实战：费率测试中的检验选择清单
| 测试场景 | 指标类型 | 推荐检验方法 | 注意事项 |
|---|---|---|---|
| 新旧费率户均保费对比 | 连续型均值 | Welch's t 检验 | 检查两组方差是否悬殊；样本量差异大时必用 Welch |
| 新旧费率赔付率对比 | 连续型均值 | Welch's t 检验 | 赔付率通常右偏，大样本下 t 检验稳健 |
| 续保率对比 | 二项比例 | 双样本比例 z 检验 | 确保两组独立；样本量需满足 np ≥ 5 且 n(1-p) ≥ 5 |
| 理赔发生率对比 | 二项比例 | 双样本比例 z 检验 | 低发生率（<1%）时考虑 Fisher 精确检验 |
| 新费率 vs 行业基准 | 连续型均值 | 单样本 t 检验 | 基准值需来自可靠外部数据或监管要求 |
实操建议：在 Python 中，使用
scipy.stats.ttest_ind() 默认执行 Welch's t 检验（参数 equal_var=False）。在 R 中，使用 t.test() 默认也是 Welch 版本。精算师应养成默认使用 Welch 检验的习惯，避免不必要的方差齐性假设。
4.7 本章小结
- 单样本t检验：用于样本均值与已知目标值的比较，适合费率对标测试。
- 双样本t检验：A/B测试核心方法，推荐默认使用 Welch's t 检验，不假设方差相等。
- z检验：适用于大样本或比例指标（续保率、理赔率），在精算比例测试中广泛使用。
- 选择原则：均值用 t，比例用 z；小样本用 t，大样本两者等价但 t 更精确。