3. 精算与风控基础：损失分布、PD、LGD、EAD 的概念与精算公式
在信用风险量化与精算建模中，损失分布是核心输出，而违约概率（PD）、违约损失率（LGD）和违约风险敞口（EAD）是构建该分布的三大支柱。本章将系统梳理这四个概念的精确定义、精算公式及其在风控实战中的衔接逻辑。
3.1 损失分布：从单笔到组合的风险量化
损失分布描述了在给定时间范围内，信用资产组合可能产生的总损失的概率分布。精算视角下，损失分布是准备金计提、经济资本计算和压力测试的基础。
对于单笔贷款，其损失是一个随机变量，通常由违约事件触发。组合损失分布则通过聚合单笔损失得到，常用方法包括：
- 二项分布模型：假设各笔贷款违约独立且违约概率相同，适用于同质化小额贷款组合。
- 泊松分布模型：适用于违约事件稀疏的大组合，用违约强度 λ 近似。
- 蒙特卡洛模拟：通过模拟违约状态、LGD 和 EAD 的联合分布，生成经验损失分布。
组合非预期损失 UL = 在给定置信水平（如 99.9%）下的 VaR 或 TVaR 减去 EL。
3.2 违约概率（PD）
违约概率（Probability of Default, PD）指借款人在未来特定时间窗口（通常为 1 年）内发生违约的可能性。PD 是信用风险模型中最基础的输入变量。
3.2.1 精算定义与公式
在精算框架下，PD 通常通过历史违约频率或生存分析模型估计：
- 历史平均法：PD = 历史违约笔数 / 总样本笔数
- 生存分析（Kaplan-Meier）：PD(t) = 1 - S(t)，其中 S(t) 为生存函数
- 逻辑回归：PD = 1 / (1 + e-(β₀ + β₁X₁ + ... + βₖXₖ))
3.2.2 评级映射与校准
| 信用评级 | 1 年 PD 范围（示例） | 风险等级 |
|---|---|---|
| AAA | 0.01% – 0.05% | 极低风险 |
| AA | 0.05% – 0.10% | 低风险 |
| A | 0.10% – 0.25% | 中低风险 |
| BBB | 0.25% – 1.00% | 中等风险 |
| BB | 1.00% – 5.00% | 中高风险 |
| B | 5.00% – 15.00% | 高风险 |
| CCC/C | > 15.00% | 极高风险 |
3.3 违约损失率（LGD）
违约损失率（Loss Given Default, LGD）指在违约事件发生时，风险敞口中无法收回的比例。LGD 反映了抵押品、回收流程和优先级结构的影响。
3.3.1 精算公式
LGD = 1 - 回收率（Recovery Rate）
其中回收率 = 实际回收金额 / 违约时风险敞口。LGD 的取值范围通常在 0% 到 100% 之间，但在某些极端情况下可能超过 100%（如法律费用过高）。
3.3.2 影响因素与建模方法
- 抵押品类型：有抵押贷款 LGD 通常低于无抵押贷款。
- 优先级：高级债权 LGD 低于次级债权。
- 经济周期：衰退期回收率下降，LGD 上升。
- 行业与地区：不同行业和地区的回收率差异显著。
常用建模方法包括：Beta 回归、决策树、以及基于回收金额的 Tobit 模型。
3.4 违约风险敞口（EAD）
违约风险敞口（Exposure at Default, EAD）指在违约发生时，金融机构面临的风险金额。对于固定额度贷款，EAD 通常等于当前未偿还本金；对于循环额度（如信用卡），EAD 需要考虑未来提款行为。
3.4.1 精算公式
EAD = 当前已用额度 + 信用转换系数（CCF） × 未用额度
其中 CCF（Credit Conversion Factor）反映了在违约前借款人可能额外提取的比例。
3.4.2 常见产品 EAD 计算
| 产品类型 | EAD 计算方式 | CCF 典型值 |
|---|---|---|
| 固定期限贷款 | 当前未偿还本金 | 不适用 |
| 循环信用卡 | 已用额度 + CCF × 未用额度 | 50% – 75% |
| 透支额度 | 当前透支金额 + CCF × 剩余额度 | 30% – 50% |
| 贸易融资 | 合同金额 × 风险权重 | 20% – 100% |
3.5 预期损失与非预期损失
基于 PD、LGD 和 EAD，可以计算两个关键精算指标：
- 预期损失（EL）：EL = PD × LGD × EAD，用于准备金计提和定价。
- 非预期损失（UL）：UL = 损失分布的标准差或 VaR 与 EL 之差，用于经济资本计算。
EL = PD × LGD × EAD
UL = VaRα - EL
其中 VaRα 为置信水平 α 下的损失分位数。
3.6 实战案例：单笔贷款损失计算
假设某笔企业贷款数据如下：
- PD（1 年）：2.5%
- LGD：40%（回收率 60%）
- EAD：1,000,000 元
则预期损失为：
EL = 0.025 × 0.40 × 1,000,000 = 10,000 元若通过蒙特卡洛模拟得到 99.9% VaR 为 80,000 元，则非预期损失为：
UL = 80,000 - 10,000 = 70,000 元