3、风险度量基础：波动率、VaR、CVaR、最大回撤的定义与计算

风险度量是量化投资与组合管理的核心基石。本章系统讲解四种最常用的风险指标：波动率、在险价值（VaR）、条件在险价值（CVaR）以及最大回撤（Max Drawdown）。理解这些指标的定义、计算逻辑与适用场景，是后续进行风险归因与绩效分析的前提。

3.1 波动率（Volatility）

波动率是资产收益率的标准差，反映收益率的离散程度。波动率越高，资产价格的不确定性越大。

3.1.1 定义与公式

给定一组收益率序列 \( r_1, r_2, \dots, r_n \)，样本标准差公式为：

σ = sqrt( (1 / (n-1)) * Σ (r_i - μ)² )

其中 \( \mu \) 为样本均值。金融中通常将日波动率年化：

σ_annual = σ_daily * sqrt(252)

252 为一年典型交易日数。

3.1.2 计算示例（Python）

import numpy as np

returns = np.array([0.01, -0.005, 0.02, -0.01, 0.015])
daily_vol = np.std(returns, ddof=1)
annual_vol = daily_vol * np.sqrt(252)

print(f"日波动率: {daily_vol:.4f}")
print(f"年化波动率: {annual_vol:.4f}")

3.1.3 波动率锥（Volatility Cone）

不同时间窗口计算的波动率不同，形成波动率锥，用于判断当前波动率是否异常。

3.2 在险价值（VaR）

VaR 表示在给定置信水平下，一定持有期内可能的最大损失。例如，95% VaR 为 -2% 意味着有 95% 的把握损失不超过 2%。

3.2.1 三种计算方法

3.2.2 计算示例（历史模拟法）

import numpy as np

returns = np.array([-0.03, -0.01, 0.02, -0.04, 0.01, -0.02, 0.005, -0.015, 0.03, -0.025])
confidence = 0.95
var = np.percentile(returns, (1 - confidence) * 100)
print(f"95% VaR (历史模拟): {var:.4f}")

3.2.3 VaR 的局限性

• 不满足次可加性： 组合 VaR 可能大于各资产 VaR 之和，不符合分散化逻辑。
• 忽略尾部损失： VaR 只告诉阈值，不告诉超过阈值后的损失有多大。

3.3 条件在险价值（CVaR）

CVaR 又称期望损失（Expected Shortfall），衡量损失超过 VaR 阈值时的平均损失。它弥补了 VaR 忽略尾部风险的缺陷。

3.3.1 定义

CVaR_α = E[ L | L > VaR_α ]

其中 \( L \) 为损失，\( \alpha \) 为置信水平。CVaR 始终大于等于 VaR。

3.3.2 计算示例

import numpy as np

returns = np.array([-0.03, -0.01, 0.02, -0.04, 0.01, -0.02, 0.005, -0.015, 0.03, -0.025])
confidence = 0.95
var = np.percentile(returns, (1 - confidence) * 100)
tail_losses = returns[returns <= var]
cvar = tail_losses.mean()
print(f"95% VaR: {var:.4f}")
print(f"95% CVaR: {cvar:.4f}")

3.3.3 VaR 与 CVaR 对比

3.4 最大回撤（Max Drawdown）

最大回撤衡量从历史峰值到后续谷底的最大亏损幅度，是衡量策略下行风险的重要指标。

3.4.1 定义与公式

Drawdown_t = (Peak_t - Value_t) / Peak_t
Max Drawdown = max(Drawdown_t)

其中 \( Peak_t \) 为截至时刻 \( t \) 的历史最高净值。

3.4.2 计算示例

import numpy as np

nav = np.array([100, 102, 98, 105, 103, 95, 97, 92, 100])
peak = np.maximum.accumulate(nav)
drawdown = (peak - nav) / peak
max_dd = np.max(drawdown)
print(f"最大回撤: {max_dd:.2%}")

3.4.3 最大回撤的工程意义

• 风险承受能力： 投资者必须能承受最大回撤，否则可能提前止损离场。
• 资金管理： 最大回撤决定杠杆上限与仓位规模。
• 策略评价： 结合 Calmar 比率（年化收益 / 最大回撤）综合评估。

3.5 四种风险指标对比总结