2. 信用评分模型基础：逻辑回归与评分卡转换原理

信用评分卡（Scorecard）是金融风控领域最成熟、最可解释的模型形式之一。其核心思想是将用户的原始特征（如收入、负债比、逾期次数）通过 特征分箱 → WOE 编码 → 逻辑回归 → 分数映射 的流水线，转化为一个直观的整数分数。本章从数学原理和工程实现两个维度拆解这一过程。

2.1 逻辑回归与评分卡转换原理

逻辑回归（Logistic Regression）输出的是样本属于“坏客户”的概率 \( p \)。评分卡转换的核心是将 \( p \) 映射为整数分数，同时满足：分数越高，风险越低；分数每增加一定分值（PDO），坏账率翻倍。

2.1.1 从概率到分数的线性变换

设逻辑回归的线性部分为：

logit(p) = ln(p / (1 - p)) = β₀ + β₁·x₁ + ... + βₙ·xₙ

评分卡标准映射公式：

Score = Offset - Scale × logit(p)

其中：
- Offset（偏移量）：基准分数，通常对应某个特定 odds（好坏比）
- Scale（刻度）：每增加一个 PDO（Points to Double the Odds），分数变化量
- PDO：好坏比翻倍时分数增加的固定点数

给定两个已知条件即可解出 Offset 和 Scale：

# 参数求解示例
import numpy as np

base_odds = 1.0      # 好坏比 1:1
base_score = 600.0   # 基准分数
pdo = 20.0           # 翻倍点数

# 解方程：
# base_score = Offset - Scale * ln(base_odds)
# base_score + pdo = Offset - Scale * ln(2 * base_odds)
# 相减得：pdo = Scale * ln(2) → Scale = pdo / ln(2)

scale = pdo / np.log(2)          # ≈ 28.85
offset = base_score + scale * np.log(base_odds)  # = 600.0

print(f"Scale = {scale:.4f}, Offset = {offset:.4f}")
# 输出: Scale = 28.8539, Offset = 600.0000

2.2 特征分箱与 WOE 编码

原始连续特征（如年龄、收入）不能直接进入逻辑回归，必须先进行 分箱（Binning），然后计算每个分箱的 WOE（Weight of Evidence，证据权重） 替代原始值。分箱和 WOE 编码是评分卡可解释性的基石。

2.2.1 特征分箱原则

• 单调性：坏账率随分箱顺序单调递增或递减，保证业务逻辑合理。
• 足够样本：每个分箱至少包含 5% 的样本，避免统计不稳定。
• 业务可解释：分箱边界尽量取整（如年龄 25、35、45），便于业务人员理解。

2.2.2 WOE 编码公式

WOEᵢ = ln( (坏样本占比ᵢ) / (好样本占比ᵢ) )
      = ln( (Badᵢ / Bad_total) / (Goodᵢ / Good_total) )

其中：
- Badᵢ：第 i 个分箱中的坏客户数
- Goodᵢ：第 i 个分箱中的好客户数
- Bad_total：全部坏客户数
- Good_total：全部好客户数

WOE 的正负含义：

• WOE > 0：该分箱中坏样本占比 < 好样本占比，风险较低。
• WOE < 0：该分箱中坏样本占比 > 好样本占比，风险较高。
• WOE = 0：该分箱好坏比例与整体一致，无区分能力。

2.2.3 IV 值（Information Value）

IV 用于衡量特征对好坏客户的区分能力：

IV = Σ ( (Badᵢ/Bad_total - Goodᵢ/Good_total) × WOEᵢ )

2.3 评分卡刻度（Scale）与分数映射公式

评分卡刻度是连接逻辑回归系数与最终分数的桥梁。每个特征分箱的分数由该分箱的 WOE 值和逻辑回归系数共同决定。

2.3.1 单个分箱的分数计算

Scoreᵢⱼ = -Scale × βᵢ × WOEᵢⱼ + (Offset / n_features)

其中：
- βᵢ：第 i 个特征的逻辑回归系数
- WOEᵢⱼ：第 i 个特征第 j 个分箱的 WOE 值
- n_features：参与建模的特征总数
- Offset / n_features：将基准分数均匀分配到每个特征

2.3.2 最终评分卡分数

Total Score = Offset + Σᵢ Scoreᵢⱼ
            = Offset - Scale × (β₀ + Σᵢ βᵢ × WOEᵢⱼ)

2.3.3 刻度参数计算示例

2.4 完整评分卡示例

以下是一个包含两个特征的简化评分卡：