2. 精算基础回顾：损失分布、风险暴露、纯保费与赔付率的基本公式
坏样本归因赔付率分析建立在精算学最核心的四个基石之上：损失分布、风险暴露、纯保费与赔付率。本节系统回顾这些基础概念及其数学表达，为后续归因拆解提供统一的公式语言。
2.1 损失分布：频率与严重度的二元结构
精算模型将总损失拆解为两个独立随机变量：
- 损失频率（Frequency, F）：单位风险暴露下发生索赔的次数。
- 损失严重度（Severity, S）：单次索赔的金额。
总损失 L 的分布由频率分布与严重度分布的复合决定：
复合分布公式
L = Σᵢ₌₁ᴺ Sᵢ
其中：
N ~ 频率分布（Poisson / Negative Binomial / Zero-Inflated）
Sᵢ ~ 严重度分布（Gamma / Lognormal / Pareto / Weibull）
N 与 Sᵢ 相互独立常见频率与严重度分布选择：
| 组件 | 常用分布 | 适用场景 | 关键参数 |
|---|---|---|---|
| 频率 | Poisson | 均匀风险、低波动 | λ（平均索赔次数） |
| 频率 | Negative Binomial | 过度离散、高波动 | r, p（形状与概率） |
| 频率 | Zero-Inflated Poisson | 大量零索赔样本 | π, λ（零膨胀率与均值） |
| 严重度 | Gamma | 中等右偏、连续金额 | α, β（形状与尺度） |
| 严重度 | Lognormal | 强右偏、长尾 | μ, σ（对数均值与标准差） |
| 严重度 | Pareto | 极端损失、再保险层 | θ, α（阈值与帕累托指数） |
归因分析提示：坏样本往往在频率端表现为异常高索赔次数（如欺诈性重复索赔），或在严重度端表现为单次金额异常（如过度医疗账单）。归因的第一步是判断异常来自频率还是严重度。
2.2 风险暴露：分母的精确计量
风险暴露（Exposure）是精算定价与赔付率计算的分母，其计量方式直接影响赔付率的准确性。常见暴露单位：
| 险种 | 暴露单位 | 说明 |
|---|---|---|
| 车险 | 车年（Vehicle-Year） | 1 辆车投保 1 年 = 1 车年 |
| 健康险 | 人年（Person-Year） | 1 人投保 1 年 = 1 人年 |
| 财产险 | 保额年（Sum Insured-Year） | 保额 × 保险年数 |
| 责任险 | 保费年（Premium-Year） | 已赚保费作为暴露代理 |
常见陷阱：在坏样本归因中，如果暴露计量不准确（如未考虑保单中途退保、保额调整），会导致赔付率虚高或虚低，从而错误归因。务必使用已赚暴露（Earned Exposure）而非承保暴露（Written Exposure）。
2.3 纯保费：频率与严重度的乘积
纯保费（Pure Premium, PP）是单位暴露下的期望损失成本，是频率与严重度的乘积：
纯保费公式
PP = E[L] / Exposure = E[N] × E[S]
其中：
E[N] = 期望索赔频率（Expected Claim Frequency）
E[S] = 期望索赔严重度（Expected Claim Severity）
PP = 纯保费（单位：元/暴露单位）纯保费分解为频率与严重度乘积，是归因分析的核心框架：
- 频率因子：反映风险发生概率的变化，如驾驶行为恶化、疾病发病率上升。
- 严重度因子：反映单次损失金额的变化，如医疗通胀、维修成本上涨。
归因分析应用：当纯保费出现异常时，通过比较实际频率与期望频率、实际严重度与期望严重度，可以快速定位异常来源。例如：实际纯保费上升 20%，其中频率上升 15%、严重度上升 4%，则主要归因于频率异常。
2.4 赔付率：核心监控指标
赔付率（Loss Ratio, LR）是精算监控中最常用的盈利性指标，定义如下：
赔付率公式
LR = 已发生损失 / 已赚保费 × 100%
其中：
已发生损失 = 已付赔款 + 未决赔款准备金变动
已赚保费 = 承保保费 - 未到期保费准备金变动
等价分解：
LR = (纯保费 / 平均费率) × 100%
= (频率 × 严重度) / 平均费率 × 100%赔付率的三种常见口径：
| 口径 | 公式 | 用途 |
|---|---|---|
| 简单赔付率 | 已付赔款 / 已赚保费 | 现金流监控 |
| 综合赔付率 | （已付赔款 + 未决赔款准备金变动）/ 已赚保费 | 承保利润评估 |
| 终极赔付率 | 终极损失 / 终极已赚保费 | 长期盈利分析 |
2.5 核心公式汇总
以下表格汇总本节所有核心公式，供后续章节快速查阅：
| 指标 | 公式 | 变量说明 |
|---|---|---|
| 总损失 | L = Σᵢ₌₁ᴺ Sᵢ | N = 索赔次数；Sᵢ = 第 i 次索赔金额 |
| 期望频率 | E[N] = λ（Poisson） | λ = 平均索赔次数/暴露单位 |
| 期望严重度 | E[S] = α/β（Gamma） | α = 形状参数；β = 尺度参数 |
| 纯保费 | PP = E[N] × E[S] | 单位：元/暴露单位 |
| 赔付率 | LR = 已发生损失 / 已赚保费 | 百分比形式 |
| 赔付率分解 | LR = (频率 × 严重度) / 平均费率 | 平均费率 = 已赚保费 / 暴露 |
本节要点
- 损失分布 = 频率分布 × 严重度分布（复合分布）
- 纯保费 = 期望频率 × 期望严重度
- 赔付率 = 已发生损失 / 已赚保费 = 纯保费 / 平均费率
- 坏样本归因的核心路径：赔付率 → 分子/分母 → 频率/严重度/费率