2. PSI 数学原理与公式推导

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个分布之间差异的标准化度量。在风控建模中，它用于量化模型评分（或特征分布）在时间维度上的偏移程度。理解 PSI 的数学本质，是后续进行特征筛选与模型监控的基础。

2.1 PSI 的数学定义

PSI 的核心思想是比较两个样本集在相同分箱（Bucket）上的占比差异。其标准计算公式如下：

PSI = Σ (Actual_i - Expected_i) * ln(Actual_i / Expected_i)

其中：

• Expected_i：第 i 个分箱中，基准样本（如训练集）的占比。
• Actual_i：第 i 个分箱中，实际样本（如跨时间验证集）的占比。
• ln：自然对数。

该公式本质上是对每个分箱的“实际占比与预期占比的差异”进行加权求和，权重由对数变换后的差异幅度决定。

2.2 基于信息熵的推导

PSI 与信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler Divergence） 密切相关。KL 散度衡量的是用一个分布 Q 来近似另一个分布 P 时所损失的信息量：

KL(P || Q) = Σ P_i * ln(P_i / Q_i)

PSI 实际上是两个 KL 散度的对称和，即：

PSI = KL(Actual || Expected) + KL(Expected || Actual)

展开后得到：

PSI = Σ Actual_i * ln(Actual_i / Expected_i) + Σ Expected_i * ln(Expected_i / Actual_i)

由于 ln(Expected_i / Actual_i) = - ln(Actual_i / Expected_i)，合并后即为标准 PSI 公式。这种对称性使得 PSI 成为一个距离度量，而 KL 散度本身是非对称的。

2.3 实际分箱计算逻辑

在实际工程中，PSI 的计算依赖于对连续变量进行分箱。分箱方式直接影响 PSI 值的稳定性与可解释性。以下是标准计算流程：

步骤一：确定分箱边界

基于基准样本（Expected）确定分箱的切分点。常用方法包括：

• 等距分箱：将数值范围均匀划分为 N 段。
• 等频分箱：使每个分箱内的样本数量大致相等。
• 自定义分箱：根据业务经验或模型分数阈值（如 0-600, 600-700, 700-800, 800+）进行划分。

步骤二：计算各分箱占比

分别统计基准样本和实际样本在每个分箱中的占比：

步骤三：逐箱计算并求和

对每个分箱计算 (Actual_i - Expected_i) * ln(Actual_i / Expected_i)，然后求和：

分箱1: (0.24 - 0.30) * ln(0.24 / 0.30) = (-0.06) * ln(0.80) = (-0.06) * (-0.2231) = 0.0134
分箱2: (0.36 - 0.40) * ln(0.36 / 0.40) = (-0.04) * ln(0.90) = (-0.04) * (-0.1054) = 0.0042
分箱3: (0.26 - 0.20) * ln(0.26 / 0.20) = (0.06) * ln(1.30) = 0.06 * 0.2624 = 0.0157
分箱4: (0.14 - 0.10) * ln(0.14 / 0.10) = (0.04) * ln(1.40) = 0.04 * 0.3365 = 0.0135

PSI = 0.0134 + 0.0042 + 0.0157 + 0.0135 = 0.0468

2.4 PSI 值的解读标准

计算得到 PSI 值后，通常按照以下经验阈值进行判断：