3. 评估对象建模

要对一个量子测量系统评估标准量子极限（SQL），第一步不是急着套公式，而是把真实装置“翻译”成一组算符关系。标准量子极限本质上是海森堡不确定性关系在测量场景下的体现：当探测光或探测场与待测物体相互作用时，反作用噪声与散粒噪声之间存在一个由量子力学设定的最优折中点。这个折中点是否被正确预测，完全取决于模型是否把信号算符、噪声算符和测量算符写对了。本节以三类典型系统为例，说明如何建立输入—输出算符关系，并整理成可直接代入SQL公式的评估模型。

建模的三个基本要素

无论具体系统是什么，建模都要回答三个问题。第一，信号算符是什么：它对应我们真正想测的物理量，例如干涉仪中差分臂长变化引起的相位移动、腔光力学中机械振子的位移、自旋系综中集体自旋的某一分量。第二，噪声算符有哪些：包括输入场的真空涨落、腔内损耗引入的额外真空、机械振子的热噪声与量子反作用、自旋系综的原子投影噪声等。第三，测量算符是什么：即探测器实际读取的量，通常是输出场的某个正交分量，如相位正交或振幅正交。

建模的规范做法是采用输入—输出理论：把系统内部自由度用海森堡—朗之万方程描述，把外部输入场用湮灭算符 a_in 表示，输出场用 a_out 表示，二者通过系统的散射关系联系。对于线性化后的系统，所有算符都可以写成“零均值涨落算符 + 经典平均值”的形式，从而把问题化为线性响应问题：输出涨落 = 系统对输入涨落的响应 + 内部噪声源的贡献。这一步线性化是SQL评估能够解析计算的关键前提。

三类系统的算符关系

干涉仪（以迈克尔逊或法布里—珀罗为例）。探测光从分束器进入两臂，待测信号是差分相位 φ，它把相位正交的涨落平移一个正比于光场振幅的量。输出场相位正交算符可写成 Y_out = Y_in + √(2κ) φ·X_in 的形式（系数依具体耦合约定而定），其中 X_in 是振幅正交、Y_in 是相位正交，二者满足 [X_in, Y_in] = 2i。信号项与反作用项同时出现，正是SQL的来源：增大光功率降低散粒噪声，却抬高辐射压反作用噪声。

腔光力学系统。机械振子位移 x 通过光压耦合到腔场，线性化后得到机械位移的频域响应 x(Ω) = χ(Ω)[F_th(Ω) + F_rp(Ω)]，其中 χ(Ω) 是机械极化率，F_rp 正比于腔内光子数涨落。输出场相位正交包含 √(2Γ) x 的读出项。这里信号算符是 x，噪声算符包括热力噪声与反作用力噪声，测量算符是输出相位正交。SQL对应的是在给定探测功率下，位移测量灵敏度达到 S_x^SQL = 2ħ/(mΓ) 量级的最优值（具体系数取决于耦合定义）。

自旋系综。以原子磁力计或自旋压缩系统为例，集体自旋算符 J_x, J_y, J_z 满足角动量对易关系。探测光沿一个轴传播，其偏振旋转角正比于横向自旋分量 J_y，而光场的散粒噪声与原子投影噪声共同决定灵敏度。信号算符是 J_y，测量算符是输出光的斯托克斯分量 S_out，噪声包括输入光真空涨落和原子相干态投影噪声。SQL在此表现为标准量子极限灵敏度 δB_SQL ∝ 1/√(N T) 的形式，其中 N 为原子数、T 为测量时间。

把算符关系整理成可计算模型

完成物理建模后，需要把算符关系整理成频域中的噪声谱形式，才能与SQL公式对接。标准做法是：对每个输出算符写出 Y_out(Ω) = Y_signal(Ω) + Y_noise(Ω)，然后计算单边功率谱密度 S_YY(Ω) = ∫⟨Y_out(Ω)Y_out(Ω')⟩dΩ'。由于线性化后各噪声源通常互不相关，总噪声谱等于各贡献之和。以腔光力学为例，位移噪声谱可写成

S_x(Ω) = |χ(Ω)|² [ S_th(Ω) + S_rp(Ω) ]
S_rp(Ω) = (2ħΓ/P) · ...   // 反作用项，随探测功率P增大
S_shot(Ω) ∝ P / ...        // 散粒读出项，随P增大而降低

这里的关键是识别出“随功率增大而升高”和“随功率增大而降低”的两类项。SQL正是这两类项相等时的交点：令 S_shot(P*) = S_rp(P*)，解出最优功率 P*，再代回得到 S_x^SQL。对干涉仪，同样的逻辑给出最优探测功率与相位灵敏度极限；对自旋系综，则是光子数与原子数之间的最优配比。建模阶段必须把每个噪声项的功率依赖关系写清楚，否则后续无法判断系统是处于散粒噪声主导区还是反作用噪声主导区。

一个可执行的建模检查清单

为避免遗漏噪声通道，建议按以下顺序逐项核对，形成本节可直接使用的建模记录表：

这张表的价值在于：它把“建模”从抽象描述变成了可逐项打勾的工程动作。实际评估时，只要某一行的通道没有被写入噪声谱，最终得到的SQL就会被低估，系统看起来“轻松超越极限”，而实际上只是漏掉了反作用项或损耗项。反过来，如果把所有通道都正确纳入，得到的 S_x^SQL 才是后续实验数据比较的可靠基准。

建模结果如何进入下一步评估

完成上述工作后，评估模型应输出三样东西：一是信号算符与测量算符之间的线性响应系数；二是各噪声源的单边功率谱及其对探测功率、失谐量、温度等参数的依赖；三是令总噪声谱取极小值得到的最优工作点和对应的SQL数值。以腔光力学为例，若取机械频率 Ω_m/2π = 100 kHz、品质因数 Q = 10⁵、有效质量 m = 10 ng、腔线宽 κ/2π = 1 MHz，在 Ω ≪ κ 的bad-cavity近似下可解析得到最优探测功率与 S_x^SQL 的闭式表达；这些参数属于教学示例假设，实际系统需以实测参数替换。得到SQL曲线后，再把实验测得的位移噪声谱画在同一张图上，就能直观判断系统当前处于SQL之上多少分贝、距离突破极限还差哪些噪声通道的抑制。

需要强调的是，建模的精度直接决定SQL评估的可信度。若系统存在显著的非线性、强耦合或多模耦合，线性化输入—输出模型可能失效，此时应改用协方差矩阵方法或数值主方程求解，并在模型中显式标注适用范围。对于本课程后续的评估流程，本节建立的“信号—噪声—测量”三要素框架和检查清单，就是所有定量比较的共同起点。