2. 冷原子干涉仪测量物理基础
冷原子干涉仪的仿真不是把几个公式拼在一起，而是要先建立一个自洽的物理模型框架：原子用什么状态描述、光场如何与之耦合、跃迁如何选择、干涉相位如何映射到加速度或角速度。本节围绕这条主线，把仿真中真正需要落地的物理量、近似条件和参数关系梳理清楚，为后续的时序仿真与噪声分析打基础。
一、两能级原子：仿真的状态载体
在干涉仪工作波段内，通常只涉及原子的两个内部能级，可记为基态 |g⟩ 与激发态 |e⟩，能级差对应角频率 ω₀。仿真中原子状态用二维复向量表示：
|ψ(t)⟩ = c_g(t)|g⟩ + c_e(t)|e⟩, |c_g|² + |c_e|² = 1与光场相互作用时，常用旋转波近似下的哈密顿量描述。设光场频率为 ω_L，失谐 Δ = ω_L − ω₀，拉比频率为 Ω，则相互作用绘景下有效哈密顿量为：
H/ħ = (1/2) * [[ -Δ, Ω ],
[ Ω, Δ ]]这个 2×2 矩阵是仿真中最核心的“原子模块”。给定 Δ、Ω 和脉冲持续时间 τ，就能用矩阵指数演化得到末态系数。工程上更常用的是脉冲面积概念：Θ = Ωτ，当 Θ = π/2 时为分束脉冲，Θ = π 时为反射脉冲。需要注意，Ω 与光强成正比，仿真中若把光强设为参数，应通过 Ω = Ω₀√(I/I₀) 换算，而不是直接线性缩放。
实际原子还存在自发辐射，激发态布居 |c_e|² 会以速率 Γ 衰减。对碱金属原子常用的拉曼方案，两束光通过虚能级耦合，可大幅降低自发辐射；仿真中若采用拉曼跃迁，应把有效拉比频率和有效失谐作为输入，而不是套用单光子共振参数。
二、拉曼跃迁与布拉格衍射：两种动量转移机制
冷原子干涉仪需要把原子的内部状态与外部动量关联起来，这正是拉曼跃迁与布拉格衍射的分工所在。二者都实现动量转移，但物理图像不同，仿真建模方式也不同。
拉曼跃迁使用两束频率差接近 ω₀ 的光，原子从 |g, p⟩ 跃迁到 |e, p+ħk_eff⟩，其中 k_eff = k₁ − k₂ 为有效波矢。它同时改变内部态和外部动量，是“态标记型”干涉仪的基础。仿真中要记录的关键量是有效波矢方向与大小，它直接决定后续相位对加速度的敏感系数。
布拉格衍射使用两束频率相同（或近简并）的光，原子内部态不变，仅动量改变 2nħk。它适合大动量转移，常用于提高灵敏度。仿真中布拉格过程可用有效二能级模型近似，把 |p⟩ 与 |p+2nħk⟩ 视为两个态，拉比频率随阶数 n 下降，需按实际光强和失谐计算。
下图给出两种机制在“内部态—外部动量”平面上的跃迁路径对比，以及它们在干涉仪时序中的典型位置。
三、干涉相位与惯性量的映射关系
干涉仪的核心输出是两路原子布居数之差，它对应一个相位差 φ。对 Mach-Zehnder 型 π/2–π–π/2 时序，相位差可写为：
φ = φ_0 + k_eff · a · T² + 高阶修正其中 a 为沿有效波矢方向的加速度，T 为脉冲间隔。这个式子说明：相位对加速度的敏感度正比于 k_eff T²，因此增大 T 或选用更大 k_eff 的布拉格衍射都能提升灵敏度，但 T 受原子自由下落时间和相干时间限制。对转动测量，相位差与角速度 Ω_rot 的关系为 φ ∝ k_eff · (Ω_rot × v) · T²，仿真中需明确速度矢量与波矢的几何夹角。
需要特别强调符号约定：本文统一取 k_eff 方向为加速度正方向，相位增加对应沿 k_eff 方向的加速。仿真中若改变光路几何，必须同步更新 k_eff 的矢量方向，否则相位符号会整体翻转，导致结果与预期相反。这是初学者最容易出错的地方。
四、仿真模型框架的搭建要点
把上述物理量组织成可运行的仿真框架，建议按以下层次实现。第一层是原子状态层，维护 c_g、c_e 两个复数以及外部动量 p，按脉冲时序调用 2×2 演化矩阵。第二层是光场层，根据激光功率、束腰、失谐计算 Ω 和 k_eff，并处理脉冲开关的时间包络。第三层是相位累加层，在每个自由演化区间按 φ += k_eff·a·Δt 累加，最后在末脉冲后计算布居差。
一个可直接用于教学验证的示例参数如下（均为合理假设，非实测）：铷-87 原子，拉曼有效波矢 k_eff = 1.6×10⁷ m⁻¹，脉冲间隔 T = 50 ms，π/2 脉冲宽度 20 μs，拉比频率 Ω = 2π×50 kHz。若设 a = 9.8 m/s²，则相位约为 k_eff·a·T² ≈ 1.6×10⁷ × 9.8 × 0.0025 ≈ 3.9×10⁵ rad。这个量级说明相位对加速度极其敏感，仿真中必须用双精度浮点，并在累加时注意相位缠绕问题，输出前对 2π 取模。
完成这一层框架后，后续的时序设计、噪声注入和参数扫描都可以在相同接口上扩展，而不必反复改动底层物理模型。这也是把物理基础先固化成仿真模块的价值所在。