1. 单模量子光场相干态仿真与光子数分布验证

任务拆解与数值路线

单模相干态在光子数基下可展开为 |α⟩ = e^−|α|²/2 Σ_n (αⁿ/√(n!)) |n⟩。本案例取平均光子数 n̄ = |α|² = 4，即 α = 2（取实数相位，便于对照）。数值上需要做三件事：选定截断维数 N、构造系数 c_n、归一化后与泊松分布 P(n) = e^−n̄ n̄ⁿ/n! 逐项比对。

截断维数的选取原则是让被丢弃的尾部概率足够小。对 n̄ = 4，取 N = 30 时尾部 Σ_n>30P(n) 已在 10⁻¹⁰ 量级，足以作为验证基准；同时保留一个 N = 12 的对照，用来观察截断不足时归一化偏差如何显现。

系数构造与归一化实现

直接计算 αⁿ/√(n!) 在 n 较大时会出现阶乘溢出，因此用递推关系 c_n = c_n−1 · α/√n 逐项生成，从 c₀ = e^−|α|²/2 出发。下面用 Python 完成构造、归一化与泊松对比，输出最大绝对偏差作为验证指标。

import numpy as np
from math import factorial

alpha = 2.0          # 实数相位，n̄ = |alpha|^2 = 4
N = 30               # 截断维数

# 1) 递推构造系数 c_n
c = np.zeros(N + 1, dtype=complex)
c[0] = np.exp(-0.5 * abs(alpha) ** 2)
for n in range(1, N + 1):
    c[n] = c[n - 1] * alpha / np.sqrt(n)

# 2) 归一化校验
norm = np.sum(np.abs(c) ** 2)
c_norm = c / np.sqrt(norm)
print(f"归一化前 Σ|c|^2 = {norm:.12f}")
print(f"归一化后 Σ|c|^2 = {np.sum(np.abs(c_norm)**2):.12f}")

# 3) 仿真概率分布
P_sim = np.abs(c_norm) ** 2

# 4) 泊松解析分布
n_arr = np.arange(N + 1)
P_pois = np.exp(-4.0) * 4.0 ** n_arr / np.array([factorial(k) for k in n_arr])

# 5) 对比验证
max_dev = np.max(np.abs(P_sim - P_pois))
print(f"最大绝对偏差 = {max_dev:.3e}")
print(f"P_sim[4] = {P_sim[4]:.6f}, P_pois[4] = {P_pois[4]:.6f}")

预期输出：归一化前 Σ|c|² 与 1 的差在 10⁻¹⁰ 量级，归一化后严格为 1.000000000000；最大绝对偏差约 10⁻¹¹ 量级，P(4) 两者均约为 0.195367。若把 N 改为 8，归一化前 Σ|c|² 会降到约 0.978，此时即使归一化，P(n) 在 n 接近 8 处也会与泊松值出现可见偏离——这正是截断维数不足的典型信号。

结果判读与验证要点

• 归一化残差：归一化前 Σ|c|² 与 1 的偏差应远小于 10⁻⁶；若明显偏小，说明 N 不够，需增大截断维数。
• 逐项偏差：仿真 P_n 与泊松 P(n) 的最大绝对偏差应随 N 增大单调下降，这是数值正确性的直接证据。
• 峰值位置：n̄ = 4 时峰值落在 n = 3 与 n = 4（两者概率相等，约 0.1954），可作为快速目视检查点。
• 均值与方差：由 P_n 计算 ΣnP_n 应等于 4，方差 Σn²P_n − (ΣnP_n)² 也应等于 4，这是相干态泊松统计的核心特征。