2. 光子统计与探测基础

光子数分辨探测的核心任务，是从探测器输出的电信号反推入射光场的光子数。要做到这一点，必须先回答两个问题：光场本身的光子数如何分布？探测器又如何把光子数"翻译"成可观测的探测事件？本节围绕光子数分布、探测概率模型、量子效率与暗计数三个层面，建立从光子数 n 到探测事件计数的统计映射关系。

一、三类典型光子数分布

光场的光子数分布 P(n) 描述在给定观测条件下探测到 n 个光子的概率。不同光源对应不同分布，这是后续误差分析的起点。

泊松分布适用于相干光（如稳定激光经强衰减后）。其形式为 P(n) = μⁿ e^−μ / n!，其中 μ 为平均光子数。泊松分布的关键特征是方差等于均值：Var(n) = μ。这意味着即使平均光子数固定，单次测量的光子数仍会围绕均值波动，这是散粒噪声的统计根源。例如 μ = 4 时，P(0) ≈ 1.83%，P(4) ≈ 19.5%，P(8) ≈ 2.98%，分布明显展宽。

热光分布（玻色–爱因斯坦分布）适用于混沌光源，如热辐射、部分LED和荧光。其形式为 P(n) = μⁿ / (1 + μ)ⁿ⁺¹，方差 Var(n) = μ + μ²，大于均值。热光的"聚束"特性使高光子数事件比泊松分布更频繁，P(0) = 1/(1+μ) 也更大。在相同平均光子数下，热光的零光子概率高于相干光，这对判别光源类型很有价值。

Fock 态（光子数态）是光子数确定的量子态，P(n) = δ_n,N，方差为零。理想 Fock 态是光子数分辨探测的"标尺"：若探测器能准确分辨，单光子源应只输出计数 1。实际单光子源因制备不完美，会表现为 g⁽²⁾(0) < 0.5 的亚泊松统计，而非严格 Fock 态。

二、探测概率模型：从光子到电脉冲

探测器并非"来一个光子出一个脉冲"。最基础的模型是伯努利探测模型：每个入射光子以概率 η（量子效率）产生一次可观测的雪崩/吸收事件，且各光子相互独立。若入射光子数为 n，则探测到 k 个光子的条件概率服从二项分布：

P(k | n) = C(n, k) η^k (1 − η)^n−k

对光子数分布求全概率，得到探测计数的边缘分布 P_det(k) = Σ_n≥k P(n) · P(k|n)。这一步就是"统计映射"的数学表达：入射光统计经量子效率"稀释"后，再叠加暗计数，形成最终观测分布。

需要注意，上述模型假设探测器处于光子数分辨模式。若使用只能区分"有/无"光子的阈值探测器（如常规 SPAD），则输出退化为二值：P(click) = 1 − Σ_n P(n)(1 − η)ⁿ。此时无法直接反推 n，只能通过多次测量或多通道复用间接估计，这正是光子数分辨探测器（如超导纳米线阵列、TES）的价值所在。

三、量子效率与暗计数的双重影响

量子效率 η 直接压缩光子数分布：入射均值 μ 经探测后变为 ημ。对泊松光，输出仍为泊松分布，均值 ημ；对热光，输出仍为热光分布，均值 ημ。因此 η 不改变分布"形状类型"，只缩放均值——这是判断探测器是否线性的重要依据。若实测分布形状随光强改变，往往提示存在饱和、死时间或串扰等非理想效应。

暗计数是独立于光子的随机脉冲，通常建模为泊松过程，速率 D（单位：计数/秒）。在门控时间 T_g 内，暗计数均值 μ_d = D·T_g。暗计数与光生计数卷积后，观测分布为 P_obs(k) = Σ_j P_det(j) · Pois(k − j; μ_d)。其后果是：零光子事件被"污染"为单计数甚至多计数，导致 P(0) 被低估、光子数分辨能力下降。工程上常通过缩短门宽、降低工作温度、加窄带滤光片来压制暗计数。

四、统计映射关系的建立与标定

把上述环节串起来，就得到完整的映射链：光源光子数分布 P(n) → 量子效率二项抽样 → 暗计数泊松叠加 → 观测计数分布 P_obs(k)。实际使用中，这一映射是"正向建模 + 反向推断"：先用已知衰减的相干光标定 η 与 μ_d，再对未知光场测量计数直方图，通过最大似然或矩估计反推 μ 乃至判别光源类型。

标定的具体做法是：以可调衰减器改变平均光子数，记录各光强下的计数直方图；对每个光强，用正向模型拟合 η 与 μ_d，检查拟合残差是否随机分布。若残差在低计数区系统性偏大，通常提示暗计数或后脉冲；若在高计数区压缩，则提示死时间或饱和。这一步是后续误差分析的实验基础。